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1、2021年中考数学模拟试题分类7：反比例函数(三)2013年中考数学模拟试题汇编反比例函数(三)7已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，PQM60作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y23x的图象上（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式ykxb进行探究可得k_，若点P的坐标为（m，0），则b_（用含m的代数式表示）；（3）继续探究
2、：若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况y 解：（1）过M 1作M 1H PQ 1于H ，设Q 1（x ，0）， 显然点Q 1在x 轴的负半轴上，点M 1在第二象限 P （1，0），M 1Q 1PQ 11xPQM 160，Q 1H 1 2 (1x )，M 1H 32 (1x )OH x 1 2 (1x ) 12(1x ) M 1（ 1 2 (1x )，32(1x )）点M 1在反比例函数y 23x的图象上1 2 (1x )2 32(1x )2 3，解得：x 3（舍去）或M 1（1，2 3）（2
3、）k 3，b 3m提示：连接PM 1、PM ，则M 1PQ 1OPN MPN 60 M 1PM 180，即M 1、P 、M 三点共线且M 1MN 60 可得直线MM 1的解析式为y 3x b ，k 3若点P 的坐标为（m ，0），则直线MM 1的解析式为y 3x b 3m（3）若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN 或对角线PM 所在直线与双曲线只有一个交点由QPM 60或PNM 60，P （m ，0），得直线PM 或直线PN 令y 3x 3m 23 x ，得x 2mx 20m 280，得m 2 2当2 2m 2 2 时，0，满足条件的菱形有两个 当m 2 2 时，0，满足条件
4、的菱形有三个当m 2 2 或m 22 时，0，满足条件的菱形有四个 由知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m 2 2 当m 2 2 时，点P 的坐标为（2 2，0）把m 2 2 代入x 2mx 20，得x 22 2x 20 解得x 2，M 1（2， 6） 设Q （x ，0），由（1）知，1 2 (2 2x )2 32(2 2x )2 3 解得：x 4或x 4M 2（2 2，2 3 6），M 3（2 2，2 3 6） 当m 2 2 时，由对称性可得：M 4（ 2， 6），M 5（2 2，2 3 6），M 6（22，2 3 6）8如图，在平面直角坐标系中，AOB 的顶点O 是坐标原点，点A 坐标为（
5、1，3），A 、B 两点关于直线y x 对称，反比例函数y kx（x 0）图象经过点A ，点P 是直线y x 上一动点（1）填空：B 点的坐标为（_，_）；（2）若点C 是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶（3）若点Q 作直线OA 和直线QF 解：（1）（3，1）（2）反比例函数y kx （x 0）图象经过点A （1，3）k 1333反比例函数的解析式为y 3x 点P 在直线y x 上，设P （m ，m ） 若PC 为平行四边形的边点A 的横坐标比点B 的横坐标小2，点A 的纵坐标比点B 的纵坐标大2 若点C 在点P 下方，则点C 的坐标为（m 2
6、，m 2），如图1 若点C 在点P 上方，则点C 的坐标为（m 2，m 2），如图2 把C （m 2，m 2）代入反比例函数的解析式，得：m 2 3m 2 ，解得m 7m 0，m 7 C 1（72，72）同理可得另一点C 2（72，72） 若PC 为平行四边形的对角线，如图3 A 、B 关于直线y x 对称，OP AB此时点C 在直线y x 上，且为直线y x 与双曲线y 3x 的交点由 ?y x y 3 x 解得 ?x 13y 13 ?x 23y 23（舍去） C 3（3，3）综上所述，满足条件的点C 有三个，坐标分别为：C 1（72，72），C 2（72，72），C 3（3，3）（3）连接
7、AQ ，设AB 与OP 的交点为D ，如图4 四边形AOBP 是菱形，AO AP S AOP S AOQ S APQ1 2 OP 2AD 1 2 AO 2QE 12 AP 2QF QE QF OP 2ADAO为定值 要使QE QF QB 的值最小，只需QB 的值 当QB OP 时，QB 最小，所以D 点即为所求的点 A （1，3），B （3，1），D （2，2）当QE QF QB 的值最小时，Q 点坐标为（2，2）9已知点P （m ，n ）是反比例函数y 6x （x 0）图象上的动点，PA x 轴，PB y 轴，分别交反比例函数y 3x （x 0）的图象于点A 、B ，点C 是直线y 2x 上
8、的一点（1）请用含m 的代数式分别表示P 、A 、B 三点的坐标；（2）在点P 运动过程中，连接AB ，PAB 的面积是否变化，若不变，请求出PAB 的面积；若改变，请说明理由；（3）在点P 运动过程中，以点P 、A 、B 、C 为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由 解：（1）P （m ，6m ），A （m2 ，6m ），B （m ，3m ） （2）PA m m2 m2 ，PB 6m 3m 3m S PAB 1 2 PA 2PB 1 2 3m 2 33 m 34PAB 的面积不变（3）若AP 是平行四边形的边，如图1、图2 则AP BQ 且AP BQ 得
9、Q （m2，3m ）或Q （3m 2 ，3 m） 点Q 在直线y 2x 上 3m 23m2 或3m 233m2解得m 3 或m 1（舍去负值） P （3，23）或P （1，6）若AP 是平行四边形的对角线，如图3 则QA PB 且QA PB 得Q （m2 ，6m3m ）点Q 在直线y 2x 上 6m 3m23m2 ，解得m 3（舍去负值）P （3，2）D （2，6）或D （3，4） 易知M 为BD 的中点由B （1，0），D （2，6），得M （32，3） 由B （1，0），D （3，4），得M （1，2） 点M 的坐标为（3，3）或（1，2）（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C 则PCB90设P（x，12x），过P作PHy轴于H，易证CHP得x212x21（或x212x21）解得x1227，x2227P1（227，17），P2（227，17
