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1、第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中1直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当b0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：
2、x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程思维启迪(1)P点是椭圆上顶点，圆C2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l1的斜率为k，将ABD的面积表示为关于k的函数解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4
3、k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.思维升华求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域已知椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点P(1，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦，且，求PF1Q内切圆面积最大时实数的值解(1)e，P(1，)满足1，又a2b2c2，a24，b23，椭圆标准方程为
4、1.(2)显然直线PQ不与x轴重合，当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|3，|F1F2|2，SPF1Q3；当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：yk(x1)，k0代入椭圆C的标准方程，整理，得(34k2)y26ky9k20，0，y1y2，y1y2.|F1F2|y1y2|12，令t34k2，t3，k2，3，00)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点思维启迪既然圆过y轴上的点，即满足0，对任意P、Q恒成立可待定M(0，y1)，也可给定特殊的P点，猜想M点坐标，再证明(1)解依题意，得|OB|8，BOy30.设B(x
5、，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明方法一由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)方法二由(1)知yx2，yx.设P(x0，y
6、0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.取x02，此时P(2,1)，Q(0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为22，交y轴于点M3(0,1)、M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)以下证明点M(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)思维升华(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是
7、非常关键的(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,3)，Q(2，3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，则b2.由，a2c2b2，得a4，椭圆C的方程为1.(2)当APQBPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k
8、，PA的直线方程为y3k(x2)，由整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，x12，同理PB的直线方程为y3k(x2)，可得x22.x1x2，x1x2，kAB，直线AB的斜率为定值.热点三圆锥曲线中的探索性问题例3已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由思维启迪(1)比较椭圆及抛物线方程可知，C2的方程易求，确定其上两点，剩
9、余两点，利用待定系数法求C1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解.解(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4，4)在C2上，易求得C2的标准方程为y24x.设椭圆C1：1(ab0)，把点(2,0)，(，)代入得，解得，所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21.由，
10、即0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.思维升华解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力如图，抛物线C：y22px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)(1)求抛物
11、线C的方程及准线l的方程(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数，使得k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解(1)把Q(1,2)代入y22px，得2p4，所以抛物线方程为y24x，准线l的方程：x1.(2)由条件可设直线AB的方程为yk(x1)，k0.由抛物线准线l：x1，可知M(1，2k)又Q(1,2)，所以k3k1，即k3k1.把直线AB的方程yk(x1)，代入抛物线方程y24x，并整理，可得k2x22(k22)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，知x1x2，x1x21.又Q(1,2)，则k1，k2.因为A，F，B共线，所以kAFkBFk，即k.所以k1k22k2k2，即k1k22k2.又k3k1，可得k1k22k3.即存在常数2，使得k1k2k3成立1圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
