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1、第十章 曲线积分与曲面积分(第四部分)曲面积分、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）一、对面积的曲面积分的定义1定义 .2物理意义 表示面密度为的曲面的质量.二、对面积的曲面积分的性质1线性性质：2可加性：.3的面积：.4单调性：若在上，则.三、对面积的曲面积分的计算方法方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量）（1）若，. 则.（2）若，. 则.（3）若，. 则.四、对面积的曲面积分典型例题例1计算曲面积分，其中为在与之间的部分。分析 因为：，即，从中能确定，或。解 令： ；：. 则（如图）.（1）求和在平面上的投影区域：因和在平面上的投影区域相同，设为，则 ：，.（2）求微元：在
2、和上， ；（3）转化为二重积分： .例2计算曲面积分，其中为曲面. 分析 注意到积分曲面为旋转抛物面，它关于面和面对称，且被积函数关于变量和均为偶函数，因此只要计算在第一卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。解 设在第一卦限的部分为，则在面上的投影区域为于是 （令） .例3计算曲面积分，其中为球面.分析 由于积分曲面为球面，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以，而. 故本题利用轮换对称性和奇偶对称性计算比较简单。解 因 ，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为，而由轮换对称性易知，故 .注 从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点：（1）由于积分范围
3、是曲面，所以点的坐标满足曲面的方程,计算中要善于利用曲面的方程来化简被积函数；（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面的方程的特点所决定的，从以上的例子即可看出。五、对面积的曲面积分的应用1几何应用 求曲面的面积：.2物理应用质量 .质心 ，.转动惯量 ，.例4求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。分析 本题为曲面积分在物理中的应用问题，只需按公式将其转化为对面积的曲面积分进行计算即可。解 由题意；因：；在坐标面上
4、的投影区域为；. 所以（令）.、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）一、对坐标的曲面积分的概念1定义 .2物理意义 表示流体密度速度场为，单位时间内流过曲面一侧的流量。二、对坐标的曲面积分的性质1可加性 ；2反号性 ).三、对坐标的曲面积分的计算方法1直接投影法（化为二重积分）（1）设 ，. 则.上侧取“+”，下侧取“”.（2）设，. 则.前侧取“+”，后侧取“”. （3）设，. 则.右侧取“+”，左侧取“”.2高斯（Gauss）公式计算法 .或 .这里是的外侧边界，为曲面上点处的法向量的方向余弦. 3转化为第一型曲面积分计算法其中为曲面在点处的法向量的方向余弦. 4. 斯托克斯公式： 或 .其
5、中，为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，在（连同边界）上具有一阶连续偏导数。四、对坐标的曲面积分典型例题例5计算曲面积分，其中为下半球面的上侧。分析 由于，定义在曲面上，所以被积函数满足曲面方程. 故应首先考虑用曲面方程化简被积函数，即，然后再计算。解 先以代入被积表达式中，得.（法一）直接计算将（或分片后）投影到相应坐标面上化为二重积分逐块计算。其中为平面上的半圆. 利用极坐标，得 因此，.（法二）高斯公式补有向曲面取下侧，则构成封闭曲面，且方向为内侧。由所围成的空间闭区域为：（如图所示）. 应用高斯公式，得 .又因 ，因此 .例 6计算曲面
6、积分，其中是曲面的外侧。分析 由于，有，从而，故可考虑用高斯公式。但是三个偏导数在点不连续，所以，需要补面去掉奇点。 解 补有向曲面取内侧，则构成封闭曲面，且方向为外侧。设由所围成的空间闭区域为. 应用高斯公式，得 （用高斯公式） 因此， 例7 计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，若采用参数法转化为定积分计算比较困难。现利用Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化为二重积分时，曲面的侧与曲线的方向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。解 设为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影区域，则；
7、由Stokes公式，得 .例8求曲线积分，其中是球面与柱面的交线.的方向规定为沿的方向运动时，从轴正向往下看，曲线所围球面部分总在左边。解 记所围的球面部分为，按的方向与右手规则，取的法向量朝上，先利用曲线方程简化函数，然后利用Stokes公式，得 因为关于面对称，被积函数是的偶函数，所以. 记在面的投影区域为，因此，.五、其它结论1. 与无关，为区域内任意闭曲面， 二维单连通域。2. 空间曲线积分与路径无关的条件与路径无关 ，为区域内任意闭曲线， 一维单连通域， 一维单连通域. .注：二维单连通区域：内任一闭曲面所围成的区域完全属于. 如环面。 一维单连通区域：内任一闭曲线总可以张一片完全属于的曲面，如同心球面之间的区域。3. 散度与旋度 设，均有一阶连续偏导数，（1）散度 .（2）旋度 .例9设存在一阶连续导数，且存在。并设为任意一张可定向的逐片光滑曲面片，它的边界为，的定向与的定向按右手法则，设的值仅与及其走向有关，而与绷在上的无关。求. 解 由已知得 ，即 为一阶线性微分方程，利用求解公式得 ，又因为存在，所以，故 .例10设有连续导数，且，对任意简单闭曲线，有，求(1)；(2)，其中.解 (1)由已知，该曲线积分与路径无关，所以，得 ，由的任意性，有，即，解方程得，因此，.(2) 设点，因为积分与路径无关，所以. 6
