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1、数学第一轮复习资料平面向量的基本定理及其坐标表示第 23 讲平面向量的根本定理第 23 讲平面向量的根本定理及其坐标表示要 点 梳 理一平面向量的根本定理如果 e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a 1 e1 2 e2 其中不共线的向量 e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二平面向量的坐标表示假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，那么AB ( x2x1，y2y1 ) ，x1 )2( y2y1 )2|AB| (x22.平面向量的坐标运算 ：假设 ax1
2、, y1 , bx2 , y2 ，则 a b x1 x2 , y1 y2 ；假设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则 AB x2 x1, y2 y1 ；假设 a =(x,y) ，那么a =( x,y)；假设 ax1, y1 , bx2 , y2 ，那么 a / bx1 y2x2 y10。三向量的数量积1两个非零向量的夹角非零向量 a 与 a，作 OA a ，OB b ，那么 AB 叫 a 与 b 的夹角；说明：1当 0 时， a 与 b 同向；2当 时， a 与 b 反向；3当 时，a 与 b 垂直，记 a b ；24注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 0 180
3、。2数量积的概念两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为，那么 a b = a b cos 叫做 a 与 b 的数量积或内积。规定 0 a0 ；向量的投影： b cos= a b R，称| a |为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影； 3数量积的几何意义：a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 4向量数量积的性质 向 量 的 模 与 平 方 的 关 系 ：a a a2| a |2 。乘法公式成立a b a b a 2b 222；aba b22a bb 2a 222a2a bb ；平面向量数量积的运算律交换律成立： a b b a ；对实数的结合律成立：ab
4、a babR ；分配律成立：abca cb ccab 。向量的夹角：cos = cosa,babab=x1 x2y1 y2。x12y12x2 2y2 2当且仅当两个非零向量a 与 b 同方向时，00 =0，当且仅当 a 与 b 反方向时 =180，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（ 5两个向量的数量积的坐标运算两个向量 a (x1, y1 ),b ( x2 , y2 ) ，那么 a b = x1 x2 y1 y2 。（ 6垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 那么称 a 与 b 垂直，记作 a b 。两 个 非 零 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：a bab Oxx2y
5、 y20，平面向11量数量积的性质。 7平面内两点间的距离公式设a(x, y)，那么| a |2x 2y2或| a |x2y2 。如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标 分别为 (x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，那 么| a | ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 2 ( 平 面内两点间的距离公式 )考点剖析平面向量根本定理的应用【例 1】 2021天津文 12在平行四边形ABCD 中, AD = 1,BAD 60 , E 为 CD 的中点. 假设 ACBE 1 ,那么 AB 的长为.【解题指南】根据向量的加法及平面向量的根本定理由 AD , AB 表示AC ,
6、 BE ，再 AC BE1求 AB 的长 .【解析】因为 ACABAD ,BEBAAD DE,AB AD1 ABAD1 AB22ACBE( ABAD )1AB)( AD所以221 AD2ADAB1 AB221121AB cos60AB 1,122所以 1 AB20, 解得 AB1 .1 AB422【拓展练习】 1.(2021 江苏文 10)设 D，E 分2向量的应用1向量在几何中的应用；2向量在物理中的应用。2.2021 江苏文 6向量 a= (2,1)，b=(1, 2) ,假设 ma+nb= (9, 8)( m, nR ), 那么 mn 的值为_.【解析】 由题意得： 2m n 9, m2n
7、8m 2, n 5,mn3.【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等 .其实质为平面向量根本定理应用 .向量坐标的根本运算【例 2】(2021 湖南文 9)点 A，B，C 在圆 x2y2 1 上运动，且 ABBC，假设点 P 的坐标为 (2,0)，那么 |PA PB PC|的最大值为()A 6B7C 8D 9【解析】 A，B，C 在圆 x2y2 1 上，且ABBC， 线段 AC 为圆的直径，故 PAPC2PO(4，0).122别是 ABC 的边 AB，BC 上的点， AD2AB，设 B(x，y)，那么 x y 1 且 x 1，1 ，PB2 ，为实数 )， (x2，y)， BE
8、3BC.假设 DE1AB2AC(12 PA PB PC (x 6，y)， |PA PB PC那么 1 2的值为 _| 12x37，12 1 【解析】 DEDB BE2AB3BC 2AB 当 x 1 时，此式有最大值497，应选2 2 1 B. 3(AC AB)3AC6AB，又 DE 1AB【拓展练习】 2(2021 全国 2 文 13. ，向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 ab，那么 m=_.2AC【解析】 因为 a b，所以 2m4 3 0 ，解 1，2 1得 m6 1623.122.3. 2021 全国 1 文 2点 A(0,1), B(3,2) ，向量 AC( 4,3) ，那么
9、向量 BC ()A. ( 7,4)B. (7, 4) C. ( 1,4)D. (1,4)【解析】 ABOBOA= 3,1， BC AC AB =(-7,-4)，应选 A.【思维升华】 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解向量的平行与垂直【例 3】2021 北京文 6设 a ， b 是非零向量， “a ba b 是 “a /b 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】a b| a | | b | cosa,b，由得cos a, b1，即 a, b0 ，a/b .而当 a/b时，
10、a, b还可能是 ，此时 a b| a |b | ，故 “a ba b是“a/b 的充分而不必要条件，应选 A.【考点定位】充分必要条件、向量共线.【名师点晴】此题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题解题时一定要注意 pq 时， p 是 q 的充分条件 ，q 是 p 的必要条件，否那么很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化【拓展练习】 4 2021 全国 1 文 13设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 ab，那么 x=.【解析】：由题意，a b 0, x 2( x 1) 0, x2 .3平面向量的数量积的运算向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式 ab|a|b|cos来计算，二是利用ab x1x2y1y2 来计算，具体应用时可根据条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。第 23 讲平面向量的根本定理【例 4】2021 天津文 7 ABC 是边长为 1 的等边三角形， 点 D, E 分别是边 AB, BC 的中 点， 连
