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1、专题一 极限1 (16)2 ()解1：原式3.设 ，求 (2)解： 4.求极限 . ()解:原式=5. (lna)解1.洛必达法则（繁） 解2.原式 6. ()7. 若 ，求 8. (1)9. 10. 11. 12 13 14.若 ，则 (36)解1 解2 则 15. 解： ； 16已知其中二阶可导，求及 解： ，17.求 18. 求极限其中 19. 设 求 20. 设证明：数列极限存在并求此极限。 21.设 ，求极限 22、设，满足：证明：收敛，并求分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明单调且有界。证明: （1） 证明：易见，则，
2、从而有： ， 故单调减少，且有下界。所以收敛。（2）设，在两边同时取极限得解之得，即。23. 设数列满足。（1）证明存在，并求该极限；（2）计算 24.求 . 25求； 26. 求 27.若 求 . ()解:由于分式极限存在，分母趋于零，则分子趋于零，从而 由罗必达法则知：， 则 。28. 若 求. ()解：原式 29. 若 求. ()原式30. 设,求及. (31.当时,与是等价无穷小,则=解：由 32.若时,是的几阶无穷小解：由 即是的9阶无穷小.33.已知时,与等价无穷小,求. 解1 对极限用洛比达法则。解2 ；34. 讨论下列函数 的连续性并指出间断点的类型;35.求函数 的间断点并指
3、出其类型。解： 函数在处没定义，这些点都是间断点。 为无穷间断点；时，故为可去间断点；时，为可去间断点；时, ， 为跳跃间断点。36 求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出类型. 37 求函数的间断点并指出其类型。 （可去；跳跃）38. 求极限39. 求极限40. 设具有二阶连续导数，且，是曲线上点处的切线在轴的截距，求.41. 已知数列，满足，证明：.42. 设，且，求常数.43. 设函数在连续且非负，证明44设在（）上连续，且为非零偶函数，则（B）.（A）是偶函数；（B）是奇函数；（C）是非奇非偶函数；（D）可能是奇函数，也可能是偶函数.45已知当时，的导数与为等价无穷小，则（B）.（A
4、）等于0；（B）等于；（C）等于1；（D）不存在.46、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.解 由等价无穷小得（或由泰勒公式得）47、设函数在（）上连续，在可导，且.（1）求证：，等式成立.（2）求极限.证（1）令, ,由中值定理得 ，.（2）由上式变形得，两边取极限，.48、已知在内可导，且，则 。49.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.50.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为
5、单调增函数.51.设有连续导数，且，当时，是同阶无穷小，则（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.52、设，试确定、的值，使都存在.解：当时，故；当时，。53、已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可见， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。， 由知、收敛，令，；由，知，。对两边取极限得， 对两边取极限得， 由得，解得由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。54= ；55设是连续函数，则 0；56. 若m,n为整数，则=;57
6、设，试证明数列收敛，并求极限.证明：利用归纳法和单调有界定理证数列是单调递减的，并且-2是一个下界.因此数列收敛.解方程得 58. 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 59. 设 ， 则是间断点的函数是 （ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .60. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 （ C ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .61. 设连续，
7、当时，与为等价无穷小，令，, 则当时，的 （ D ）(A) 高阶无穷小；(B) 低阶无穷小；(C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.62. 已知是函数的可去间断点, 则的取值范围是 （ D ）(A) 为任意实数； (B) 为任意实数； (C) 为任意实数； (D) .为任意实数63. （ C ）(A) ；(B) (C) ；(D) .64. 设 （ D）(A) 高阶无穷小；(B) 低阶无穷小；(C) 等价无穷小； (D). 同阶但非等价无穷小65. 设 （ A ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 66设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于 。 （2）67.已知，求、。解：，。68、设在内可导，且，求的值。解：，而由拉格朗日中值定理有，。
