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1、第三章函数应用与复习 3.1.1 方程的根与函数的零点、教学目标：知识与技能：让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切关系；启发学生学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根与函数的零点。过程与方法：通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般” 的认知规律，在今后的学习中利用这一规律探索更多的未知世界。情感态度与价值观：通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还会让学生充分体验“数学”语言的严谨性，“数学思想方法”的科学性。培养简洁简练、体会从感性到理性的思维过程。、教学重点：“方程的根”与“函数的零点”的关系。、教学难点：函数零点的概念、如何求方程的根与函数的零点。、
2、教学过程：新课导入：上一章我们研究了函数图象的性质，这一节我们来讨论函数的应用方程的根与函数的零点。一、提出问题：画出下列函数的图象(1)、；（2）、；（3）、。 图（1） 图（2） 图（3）观察一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系(1)、与； （2）、与 ；（3）、与 。容易知道，方程有两个实根；函数的图象与x轴有两个（-1，0），（3，0），如图（1）所示，这样，方程的两个实数根就是函数的图象与x轴交点的横坐标。方程有两个相等的的实数根；函数的图象与x轴有唯一的交点(1,0).如图（2）所示，这样，方程的实数根就是函数的图象与x轴交点的横坐标。方程无实数根，函数的图象与x轴没有交点，
3、如图（3）所示。二、如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，他们之间有什么关系？上述关系对一般一元二次方程及其相应的图象的二次函数也成立。设判别式，我们有：（1）当时，一元二次方程有两个不等的实数根，相应的二次函数图象与x轴有两个交点；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数图象与x轴有唯一的交点；（3）当时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图象与x轴没有交点。小结：当一元二次方程有两个不等的实数根时，与之相应的二次函数与x轴有两个不同的交点；当一元二次方程有两个相等的实数根时，与之相应的二次函数与x轴有唯一一交点；当一元二次方程没有实数根时
4、，那么与之相应的二次函数就与x轴没有交点。反之也成立。三、函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。注：（1）函数零点是一个实数，当函数的自便量取这个实数时，其函数值等于零，零点不是一个点坐标；（2）函数的零点也就是函数图象与x轴交点的横坐标；（3）求零点就是求方程的实数根。这样，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标。所以方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点。探究：观察二次函数的图象，如图（1），我们发现函数在区间-2，1上有零点，计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2，4上是否也具有这样的特点呢？可以发现，函数在区间（-2，1）内有零
5、点，它是方程的一个根。同样地，函数在（2，4）内有零点，它是方程的另一个实数根。四、如果函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a，b）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。注：有，可以推出函数在区间（a，b）内有零点，但反之不一定成立。如二次函数在（0，2）内有零点，但。例：画出函数的图象，判断函数在以下区间（-1.5，-1），（0，0.5），（0.8，1.5）内有无零点，并判断零点的个数。解：用计算器或计算机作出、的对应值表和图象（如下）。1.510.500.511.51.2522.2510.2503.25 由上表和上图可知，即，说明这个函数在区间内有零
6、点。同样，它在区间（0，0.5）内也有零点。另外，所以1也是它的零点。由于函数在定义域和（1，）内是增函数，所以它共有3个零点。 、课堂练习：教材P88 练习2（1） 、课堂小结：本节学习了：（1）零点的概念；（2）零点的判断方法；（3）利用函数的单调性证明零点的个数。、课堂作业：习题3.1A组第2题用二分法求方程的近似解 一、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳
7、概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程二、教学重点和难点1教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识2教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解三、教学过程设计（一）创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子10km长，大约有200多根电线杆子呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背
8、景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题学情预设 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近师：我们可以用一个动态过程来展
9、示一下（展示多媒体课件）在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想） 设计意图 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用（二）师生探究,构建新知 问题2：假设电话线故障点大概在函数的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？ 1利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与轴相交，即方程在区间内至少有一个解（即上节课
10、的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围2我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且0，0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想
11、法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间的中点的方法 合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得.由0，得知，所以零点在区间(2.5，3)内。 步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75
12、，用计算器算得.因为，所以零点在区间(2.5，2.75)内.结论:由于(2，3)，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表32，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质学情预设学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改
13、变步长减少很快得出表32，找出零点的大概位置设计意图从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围3.问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数的零点近似值的步骤对于在区间，上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法注意引导学生分化二分法的定义（一是
14、二分法的适用范围，即函数在区间，上连续不断，二是用二分法求函数的零点近似值的步骤）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1、确定区间，验证，给定精确度；2、求区间，的中点；3、计算：（1）若=，则就是函数的零点；（2）若，则令=（此时零点）；（3）若，则令=（此时零点）；4、判断是否达到精确度：即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤24利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示初始区间取区间中点中点函数值为零取新区间满足精确度结束否是否是学情预设 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数的图象去体会二分法的思想结合二次函数图象和标有、的数轴理解二分法的算法思想与计算原理设计意图以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想（三）例题剖析，巩固新知例：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0.1）. 两人一组，一人用计
