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1、 课时规范练44双曲线一、选择题1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线右边一支D.一条射线答案:C解析:|PM|-|PN|=3|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.2.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.=1D.x2-=1答案:B解析:椭圆+y2=1的焦点为(,0).因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除A,C.又双曲线-y2=1经过点(2,1),所以选B.3.如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A,D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率
2、是()A.+1B.-1C.D.答案:A解析:令正六边形的边长为m,则有AD=2m,AB=m,BD=m,该双曲线的离心率等于+1.4.已知双曲线=1(a0,b0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为()A.2B.C.D.答案:C解析:由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.又由e=,可解得c=,则b2=c2-a2=,即b=.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=.5.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当F1PF2的面积为2时,的值为()A.2B.3C.4D.6答案:B解
3、析:设点P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2=4,|F1F2|y0|=2|y0|=2,|y0|=1.又=1,=3(+1)=6,=(-2-x0,-y0)(2-x0,-y0)=-4=3.6.(20xx山东高考)抛物线C1:y=x2(p0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A.B.C.D.答案:D解析:设M,y=,故在M点处的切线的斜率为,故M.由题意又可知抛物线的焦点为,双曲线右焦点为(2,0),且,(2,0)三点共线,可求得p=,故选D.二、填空题7.(20xx江苏高考)双曲线=1的两条渐近线的方程为
4、.答案:y=x解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=x.8.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为.答案:-2解析:由题可知A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x1),则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.x1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,当x=1时,取得最小值-2.9.中心在原点的双曲线,一个焦点为F(0,),一个焦点到最近顶点的距离是-1,则双曲线的方程是.答案:y2-=110.设双曲线x2-=1的两
5、个焦点为F1,F2,P是双曲线上的一点,且|PF1|PF2|=34,则PF1F2的面积等于.答案:8解析:依题意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2,又|PF1|PF2|=34,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰PF1F2的面积为S=8=8.11.已知双曲线=1(a0,b0)的左、右顶点分别是A1,A2,M是双曲线上任意一点,若直线MA1,MA2的斜率之积等于2,则该双曲线的离心率是.答案:解析:设点M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),则直线MA1的斜率是,直线MA2的斜率是,直线MA1,MA2的斜率之积是,故=2,故该双曲线的离心率e=.三、解答题12.已知
6、双曲线C1:=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,求抛物线C2的方程.解:由于e=2,c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,b2=3a2,即b=a.双曲线的渐近线方程y=x即为y=x,即x+y=0.又抛物线的焦点坐标为F,F到渐近线的距离为2,即=2,解得p=8.抛物线C2的方程为x2=16y.13.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-),点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:=0;(3)求F1MF2的面积.(1)解:因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=.
7、因为双曲线过点(4,-),所以16-10=,即=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:由(1)可知a=b=,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).所以=-.因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.故=-1,所以MF1MF2.所以=0.(3)解:F1MF2的底边长|F1F2|=4,F1MF2的高h=|m|=,所以=6.来源:14.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,F1PF2=,且PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.解:设双曲线方程为=1(a0,b0),来源:数理化网
8、F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).在PF1F2中,由余弦定理,得来源:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即4c2=4a2+|PF1|PF2|,又=2,|PF1|PF2|sin=2,|PF1|PF2|=8.4c2=4a2+8,即b2=2.又e=2,a2=,双曲线的方程为=1.15.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a0,b0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率;(2)求双曲线C的方程.来源:解:(1)设双曲线C:=1
9、过一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P.而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为Q点.依题意有QPO=POM=OPM=.又l:y=(x-2)的倾斜角为60,则2=60,所以tan 30=.于是e2=1+=1+,所以e=.(2)由,可设双曲线方程为=1,即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-33(x-2)2=3k2.化简得8x2-36x+36+3k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2=,求得k2=1.故所求双曲线C的方程为-y2=1.四、选做题1.已知抛物线y2=2px(p0
10、)的焦点F恰为双曲线=1(a0,b0)的右焦点,且两曲线交点的连线过点F,则双曲线的离心率为()A.2+B.1+C.2D.答案:B解析:抛物线y2=2px(p0)的焦点F,故双曲线=1(a0,b0)的右焦点为,根据图形的性质可知两曲线交点的连线AB垂直于x轴,故AB为双曲线的通径,则有=2p,p2=,又A在双曲线上,故=1,整理得=1.设=t,t2-4t-4=0,t=2+2.e2=1+2+2=3+2=(1+)2,e=1+.2.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.答案:2解析:不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF
11、1PF2,所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1)求双曲线C的方程;来源:数理化网(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.解:(1)设双曲线C的方程为=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1,所以双曲线C的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1中,整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由题意得故k2且k22得xAxB+yAyB2,xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)k+2=,于是2,即0,解得k23.由得k21,所以k的取值范围为.
