《2020年高考数学一轮复习 专题07 指数与指数函数（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学一轮复习 专题07 指数与指数函数（含解析）（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念2.结合函数yx，yx2，yx3，y，的图象，了解它们的变化情况3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.基础知识融会贯通1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm
2、)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质【知识拓展】1幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点(3)当0时，yx在0，)上为增函数；当0时，yx在(0，)上为减函数2若f(x)ax2bxc(a0)，则当时恒有f(x)0，当时，恒有f(x)0.重点难点突破【题型一】幂函数的图象和性质【典型例题】下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数
3、的大致对应是（）A，yx2，yx1Byx3，yx2，yx1Cyx2，yx3，yx1D，yx2，yx1【解答】解：的图象关于y轴对称，应为偶函数，故排除选项C，D由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B【再练一题】已知点（2，8）在幂函数f（x）xn图象上，设，则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCcbaDbca【解答】解：点（2，8）在幂函数f（x）xn图象上，f（2）2n8，解得n3，f（x）x3，设，a（）0.33（）0.9（）01，b（）0.23（）0.6（）01，c（）3（log1）30，a，b，c的大小关系是bac故选：A思维升华
4、 (1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键【题型二】求二次函数的解析式【典型例题】已知二次函数f（x）ax2+（b2）x+3，且1.3是函数f（x）的零点（1）求f（x）解析式，并解不等式f（x）3；（2）若g（x）f（sinx），求函数g（x）的值域【解答】解：（1）由题意得，f（x）x2
5、+2x+3，x2+2x+33，即x22x0，x|x0或x2，（2）令tsinx1，1，g（t）t2+2t+3（t1）2+40，4，g（x）0，4【再练一题】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）f（2）3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上是单调函数，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由已知，设f（x）a（x1）2+1，由f（0）3，得a2，故f（x）2x24x+3；（2）二次函数的对称轴为x1，2aa+1，即a1，当对称轴在区间的左侧时，函数f（x）在区间2a，a+1上单调递增，即2a1解得a；当对称轴在区间的右侧时，函数f（x）在区间2a，a+1上单调递减
6、，即a+11解得a0，综上，实数a的取值范围为（，0，1）思维升华 求二次函数解析式的方法【题型三】二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象【典型例题】已知A，B分别为函数f（x）x2+2x+1和函数g（x）1图象上的两点，则|AB|的最小值为（）ABCD【解答】解：由于函数g（x）1与函数yx2+2x+1（x1）关于yx对称，又由函数f（x）与g（x）的图象可知，当A，B最近时，点A应在函数yx2+2x+1（x1）上，则|AB|的最小值为函数f（x）或g（x）图象上的点到直线yx距离最小值的2倍，由g（x）l，得x，y1，g（x）图象上的点到直线yx距离最小值即为点（，）到直线yx的距离，
7、其值为，则|AB|的最小值为，故选：B【再练一题】设函数f（x）当x，时，恒有f（x+a）f（x），则实数a的取值范围是（）A（，）B（1，）C（，0）D（，【解答】解：a0时，显然不符题意；当x，时，恒有f（x+a）f（x），即为f（x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，则a0，即f（x）的图象右移故A，B错；画出函数f（x）（a0）的图象，当x时，f（）a；而f（x+a），则x时，由a（a）2+aa，解得a（舍去），随着f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，则a的范围是（，0），故选：C命题点2二次函数的单调性【典型例题】已知函数f（x）x2
8、+|x+1a|，其中a为实常数（）判断f（x）在，上的单调性（）若存在xR，使不等式f（x）2|xa|成立，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）x2+|x+1a|，其中a为实常数；当xa1时，f（x）x2+x+1a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a1，在x时，f（x）是增函数，f（x）在，上单调递增；若a，则a，f（x）在a1，上是增函数；当xa1时，f（x）x2x1+a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a1，在x时，f（x）是减函数，f（x）在，上单调递减；若a，则a1，f（x）在，a1上是减函数；综上，a时，f（x）在，上是增函数；a时，f（x）在a1，
9、上是增函数，在，a1上是减函数；a时，f（x）在，上是减函数；（）先求使不等式f（x）2|xa|对xR恒成立时a的取值范围；当xa1时，不等式化为x2x1+a2（ax），即x2+x1a，a；若a1，即a，则a相矛盾；若a1，即a，则a（a1）2+（a1）1，即a22a10，解得a1或a1，a1；当a1xa时，不等式化为x2+x+1a2（ax），即x2+3x+13a，3a；若a1a，即a；若a1，即a，3a（a1）2+3（a1）+1，即a22a10，解得a1或a1；结合条件及得，a1；若a，3aa2+3a+1恒成立；综上，a1；当xa时，不等式化为x2+x+1a2（xa），即a2x+1a；a，得
10、a，即a，结合得a1；使不等式f（x）2|xa|对任意xR恒成立的a的取值范围是a1，本题所求的a的取值范围是a1或a【再练一题】已知函数f（x）ax2|x|+2a1（a为实常数）（1）若a1，求f（x）的单调区间；（2）若a0，设f（x）在区间1，2的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间1，2上是增函数，求实数a的取值范围【解答】解：（1）a1，f（x）x2|x|+1f（x）的单调增区间为（），（，0）； f（x）的单调减区间为（），（）（2）由于a0，当x1，2时，若，即，则f（x）在1，2为增函数g（a）f（1）3a2若，即，若，即时，f（x）在1，2上是
11、减函数：g（a）f（2）6a3综上可得（3）在区间1，2上任取x1、x2，则（*）h（x）在1，2上是增函数h（x2）h（x1）0（*）可转化为ax1x2（2a1）0对任意x1、x21，2且x1x2都成立，即ax1x22a1当a0时，上式显然成立a0，由1x1x24得，解得0a1a0，由1x1x24得，得所以实数a的取值范围是命题点3二次函数的最值【典型例题】【解答】解：（1）当1时，函数y2x22ax+3在区间1，1上是增函数，故当x1时，函数取得最小值是 f（1）2a+5当11时，由于函数y2x22ax+3对称轴是x，故当x时，函数在区间1，1上取得最小值是 f（）3当 1时，函数y2x2
12、2ax+3在区间1，1上是减函数，故当x1时，函数取得最小值是 f（1）52a综上可得 f（a）（2）当2a0时，f（a）3在2，0上是增函数，由复合函数的单调性可得函数（a）log0.5f（a）在2，0上是减函数同理可得，数（a）log0.5f（a）在0，2上是增函数【再练一题】已知函数f（x）log2x的定义域是2，16设g（x）f（2x）f（x）2（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值【解答】解：（1）由题意可得g（x），且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令tlog2x，则t1，3，h（t）t2+t+1，h（t）在【1，3】递减h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【5，1】，当x8时，g（x）有最小值5，当x2时，g（x）有最大值1命题点4二次函数中的恒成立问题【典型例题】不等式x2+a|x|+40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A0，+）B4，+）C4，4D（，4【解答】解：f（x）x2+a|x|+4为偶函数；当a0，x0时，函数化为f（x）x2+ax+4，对称轴x0，f（0）40，不等式恒成立；当a0时，x0时，函数化为f（x）x2+ax+4，可得a2160显然成立解得4a0，综上a4，+）故选：B【再练一题】已知对a（，0），x（0，+），不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，
