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1、第三章 应变状态第三章 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原
2、因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。3.1 位移与线元长度、方向的变化1.1坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴()上的投影为()，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(、)，这些位移分量可看作是坐标()的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 (3.1-1)上式中函数、以及它们对坐标()的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)确定了变量()与之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1
3、)可看成是坐标的一个变换。 如果在(3.1-1)中，假设，则由(3.1-1)式可得如下三个方程 (3.1-2)式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点，在物体变形前为平行于轴的直线()上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标()末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler法。Lagrange描述法是用变形前的坐标 ()做自变量，而
4、Euler法则是用变形后的坐标做自变量。 在固体力学中，通常物体的初始形状、固定情况以及载荷是一定的，需要确定的是物体各点的位移、和应力。对于小变形一般采用Lagrange坐标法；而对于大变形有时用Euler法。在数值计算中，通常采用矢量来表示，因为要计算变形前后两次应变的变化，所以用Euler法比较方便。在以后的讨论中，我们采用Lagrange坐标法。 图 3.1 变形表示法1.2 变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点，变形后移位至。变形前的坐标分别为，变形后的坐标分别。那么，矢量所表示的线元在物体变形后由矢量表示线元。那么，和的平方为 (a) (b)根据(3.1-1)式，点在方向有
5、 (c)此处是因两点所产生的增量，将其在()处展开为Taylor级数，即 (d)略去(d)式中的高阶微量(，并将(d)式代入(c)式，则可得 由(3.1-1)式知，,所以 (3.1-3a)同理可得 (3.1-3b) (3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算与之差，于是由(a)式和(e)式可得 (f)式中 (3.1-4)式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量表示为 (3.1-5)1.3线元的长度变化 引入符号 (3.1-6)是点和N间由
6、变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比我们把这个量称作点在点N方向的相对伸长度。根据式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，则可得伸长度的表达式为 (3.1-7)式中 ，是矢量的方向余弦。如果在(g)式中令，那么有 (3.1-8a)此处表示点在x方向的相对伸长度。类似有点在y、z方向的相对伸长度为 (3.1-8b)因此，应变分量、描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。1.4线元方向的变化 变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。矢量与坐标轴(X，Y，Z)形成的方向余弦分别为、；而矢量与坐标轴夹角的方向余弦分别为 (3.1-9)利用(3.
7、1-6)式解得=，并注意到(3.1-3)式可得 (3.1-10)式(3.1-10)表示任意线元在变形后的方向，即变形后的方向余弦可以用变形前的方向余弦表示。如果变形前线元与X轴平行，则该线元的方向余弦为，那么由(3.1-10)式知，该线元变形后的方向余弦为 (3.1-11)此处是变形前与X轴平行线元的伸长度。由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移、不相同，因此方向要改变(图3.2)；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。 因为线元在变形后成为已变形物体上坐标曲线上的线元，所以式(3.1-11)实际上给出了点上坐标曲线的切线方向的方向余弦。类似地可以由 (3.1-11)式得出已变形
8、物体上坐标曲线和的切线的方向余弦。如果用、表示点在坐标切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图3.2 线元的方向余弦量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由(3.1-11)式如同线元那样得到类似的(3.1-11)式。具体列于表3.1。 类似于(3.1-9)的方法也导出用的方向余弦表示变形前的方向余弦，读者可自行推导。表3.1 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦XYZ 1.5剪切度与切应变 Z 如图3.3所示，设变形前物体中经过 点的两条任意纤维和，此两纤维在点 的切线的方向余弦分别为、和、 、；变形后，物体中的点移动到， 纤维和变成纤维和， 纤维和的 Y方向余弦也变为、和、。 由前面可知，变形后两纤
9、维的方向余弦可用 X变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图3.3 剪切变形 (3.1-12) 则可求得变形后纤维和之间夹角的方向余弦。将(3.1-10)式代入上式，并注意(3.1-5)式，则可得 (3.1-13)注意，式中纤维和的伸长度和由(3.1-7)确定，但必须用变形前物体的纤维和的方向余弦、和、。 由(3.1-13)显然可知，当知道了6个应变分量、和变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由(3.1-7)式和(3.1-13)求得该两纤维变形后的夹角。 如果变形前物体中纤维和分别平行于轴和轴，则，其余的方向余弦为，且变形后物体中纤维和的切线方向分别与单位矢量、重合，则根据(
10、3.1-7)式和表达式(3.1-8)可知 在变形前，纤维和的夹角为直角，令为变形后纤维引起的夹角减少量，那么由上式可得 (3.1-14a)类似可得分别与轴和轴平行的两纤维夹角的减少量和为 (3.1-14b)称角、和为剪切度。由以上分析可知，、和表示了切应变，当它们均为零时，则纤维之间的夹角变形后保持不变。 由以上的分析可知，在(3.1-4)式中，应变所出现的量不外乎下面9个分量 (3.1-15)称为相对位移张量。因此，当知道了位移对坐标的偏导数，则可根据(3.1-4)式计算出应变分量，从而也就知道了任何一根线段在任何方向的伸长(由(3.1-7)式)，同时还可计算出原来与坐标轴平行的两线段角度的
11、减少量，更一般地还可计算，因此充分地表示了应变。如果=0，则意味着没有变形，仅有刚体移动或转动；如果已知应变分量，则不能求得一根线段的绝对角度变化，因为这时并不知道(3.1-15)中的任何值，所以也无法由(3.1-10)式求得等，反过来也不知道、等，所以无法求出。3.2 应变张量与转动张量 一般来说，物体中各点的变形由(3.1-5)式中的6个分量可完全确定，因为知道了这6个分量就等于知道了伸长度和剪切度。 在变形理论分析中，通常还需引入9个参数，即 (3.2-1)这样，位移的所有一阶偏导数都于由这(3.2-1)式的9个参数表示为 (3.2-2)2.1微元体的转动为了研究微元体的转动，首先阐述的
12、几何意义。为此，设垂直于轴的线元为，利用(3.2-2)，并注意此时，则(3.1-3)式成为 (3.2-3) 在图3.4中表示出平面，线段是变形前线元的长度，而线段是变形后在平面上的投影。根据图3.4显然有 ， (3.2-4)再根据(3.2-3)式和分子分母均除原长，则有 (3.2-5) 图3.4 线元角度的变化变形物体在变形过程中，由前节已经知道，线元不仅产生尺度变化，而且线元的方向也发生变化。但是在变形时起变化的不仅线元的相对方向，而且还有它的绝对方向，因为从初始状态的物体中割离出来的无限小微元体，到终了状态时，除了产生形变外，还有些转动。把这术语应用到微元体上(它在产生位移过程中不仅位置要发生改变，而且还改变了大小和形状)，意指所有属于微元体的许多个线元转动的平均值。同时，约定作为绕轴的转动角，此处轴是变形前和线元垂直的轴
