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1、习题一1、（1）.（2）.2、（1）排列的逆序数为. （2）排列的逆序数为.3、含有因子的项（纵标为1324，逆序数为），（纵标为1342，逆序数为）.4、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用2乘所有元素为，经用乘第2列加到第5列为行列式不变，经这些处置后行列式为.5、的代数余子式为0，的代数余子式为.6、.7、（1）. （2）.8、（1）.（3）.9、（1）对第i列分开三项（i=2,3,4）,再利用其中两列元素相同、成比例，则行列式为0，其结果为0，等于右边.（2）（3）用递推法去证.从第二行起得：10、（1）用数学归纳法去证.当时，当时，当时，由数学归纳法可知，对任何正
2、整数，有.（2）用数学归纳法去证.当时，当时，当时，由数学归纳法可知，对任何正整数n，有等式成立.11、.12、（1）按第1行至第n行、第1列至第n列展开得证.（2）解一，按第n行、第n+1行展开，得解二，按最简一行、最后一行展开得.故 14、设，则得，这时，得，故，即.15、,当时，有非零解.习题二1、（1） （2） （3）.2、即：，这时，。3、（1） （2）4、.5、6、从变量到变量的线性变换为7、各工厂的总收入和总利润为.8、设，由得，即，利用，利用，这时.9、设，由得，即，故，这时，其中为常数.10、（1）,故; （2），故.11、，.12、（1）根据对称矩阵的性质：，根据反对称矩阵
3、的性质：； （2）根据可逆对称矩阵的性质：.13、（1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：；（2）先证必要性，若是反对称矩阵，则；为反对称矩阵，为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即可交换.再证充分性，若，则为反对称矩阵。设为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即为反对称矩阵.14、.15、（1）；（2）.16、，则。17、用数学归纳法去证。当时，.当时，成立.则时，故为正整数时，.18、用归纳法去证.当时，；当时，等式成立；则当时，；故为正整数时，成立 .而.19、因，而，故，则均可逆.20、因，而，故.21、设，则，由；由；即.22、，则，而，故.23、（1），其中，而，故；（2），其中，而，故.24、故
4、.（矩阵行阶梯形）（矩阵行最简形）.26、这是矩阵A的标准形D.27、这是矩阵的标准型.28、在秩为的矩阵中，有阶子式、有阶子式，如的，其中有等于0的一阶子式、二阶子式.29、（1） ，故. （2），故.30、，当时，；当时，；当时，.31、先证必要性 若，即初等变换后化为矩阵，而初等变换不改变矩阵的秩，故； 再证充分性 设，由矩阵的等价标准形理论知，矩阵与有等价标准形，即，由等价关系的传递性知.习 题 三1、.2、，则.3、 ，这时.4、.当时，可由线性表示.这时，为矩阵行阶梯形，为矩阵行最简形，于是.说明：这一题可用克莱姆法则求解.5、（1）记，因为向量组不能由向量组线性表示，所以，从而这
5、时，；（2），这时.6、（1）因为，所以线性相关. （2）因为，所以线性相关.（3）因为，所以线性无关.（4）因为是四维三个向量，所以线性无关.（5）因为是二维三个向量，所以线性相关.7、因为，所以.8、（1），则线性相关，但不能由线性表示.（2），则存在，使，但线性无关，线性无关.（3），则只有时，使，但这时线性无关，而线性相关.9、因为线性相关，由相关定义知，有一组不全为零的数使得，假设，则不全为零，由上式得.由相关定义知，线性相关，这与题设矛盾，故，于是，则可由线性表示.10、用反证法，设有两种不同表示法，则，而线性无关，故，最后的结果说明表示式是唯一的.11、先证必要性。设线性无关，为
6、任意维向量，若，则，即可由线性表示。若，则线性相关，因向量的个数大于向量的维数，而线性无关，故可由线性表示（例9已证）.再证充分性。任一向量可由线性表示，则维单位向量也可由线性表示，而向量组与向量组等价，因为线性无关，所以也线性无关.12、（1）因为，所以极大无关组为，亦或或。（2）.13、，为矩阵的行阶梯形，为矩阵的行最简形. （1）由矩阵可见，线性无关，这是所求的极大无关组；（2）；（3）由矩阵可见，记，则，即。14、（1）两个向量不成比例，故线性无关； （2） 包含的极大无关组为. （3）.15、先证向量组等价.显然向量组可由向量组线性表示.又，即，从而这说明向量组可由向量组线性表示，故
7、向量组等价.再证秩相等。则由向量组等价，且个数相同（均为），故。16、由作为列构成矩阵. ，故，则，故两个向量组可以互相线性表示，因而向量组等价.17、（1）； （2）.18、（1）； （2），即.19、因为，所以已成正交，故，则，再单位化：.20、取，则， ，再单位化：.21、（1）不是正交矩阵，因第一行元素平方之和； （2）是正交矩阵，因第行元素平方之和等于1，第行、第行对应元素之和等于零.22、先证为对称矩阵：再证为正交矩阵：23、因都是阶正交矩阵，故； 而，故为正交矩阵.习 题 四1、（1），故，取，则，基础解系为.（2）、，得同解方程组，取，得，故基础解系为.2、（1）通解为，（为任
8、意实数）.（2），得同解方程组，取，则，基础解系为，通解为.3、，第一个方程与第二个方程对调，并乘第一个方程，得： 当时，此方程组有非零解.4、 ，故无非零解.5、（1）总有解（因）.只有零解，就没有基础解系；有非零解，则存在基础解系；基础解系不唯一，基础解系中含有个解向量. （2）若已知的一个基础解系为，则的通解形式为，其中为任意实数. （3）若是的基础解系，则也是的基础解系，这因为：，即，由于线性无关，故，从而得. （4）有非零解，且，则，这是正确的结论.6、先证必要性. 若三个向量共面，由共面的充要条件为，知齐次线性方程有非零解. 再证充分性. 若齐次线性方程组有非零解，则，即三个向量共
9、面.7、设为的基础解系，由两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等，故等价的线性无关向量组可以为，则可由线性表示，从而也是的解. 又线性无关，的任一解可由线性表示，从而可由线性表示，这就说明也是一个基础解系.8、设为的基础解系，又设为的线性无关解，由第7题可知，只要证明这两个解向量等价即可.因为基础解系，故可由线性表示，即因为线性无关，所以，则可由线性表示，因而这两个向量组等价.9、利用原方程组与方程组同解，的秩相等，则可证明可由线性表示.10、记，由，故是的解.反之，若是的解，则.11、将通解改写为，由此可知，所求方程组有两个自由未知数，且对应的齐次线性方程组为，即，所给表达式为其通解.12
10、、因为，所以，对施以初等行变换，化为行阶梯形矩阵，要使，则必有，此时与同解方程组为，取，则有，故基础解系为13、因，且中某元素的代数余子式，故存在非零的阶子式，从而可知，则基础解系中所含解向量的个数为.14、（1），即则（2）同解方程组为，则（其中为任意常数）.15、当时，方程组有唯一解.当时，因为，所以方程组无解.当时，即有同解方程组，解为,其中为任意常数.16、，故，方程组有解.17、，当时，有解.18、解一，当时，方程组有唯一解.当时，原方程组为；，同解方程组为，即（为任意常数）.当时，原方程组为，即，这时第二个第三个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.解二，对原方程组的增广矩阵施初
11、等行变换，于是，当时，原方程组无解；当时，原方程组有唯一解；当时，原方程组有无穷多组解，其全部解为（其中为任意常数），（或（为任意常数）.19、（1）若，则必有解，且有无穷多解. （2）若，则必有解，且有唯一解.（3）若只有零解，则有唯一解，这是错误的结论，因二者不一定相等.20、设，得线性方程组为 其系数行列式，由此可见： （1）当时，则方程组有唯一解；故可由唯一的线性表示； （2）当时，则方程组有无穷多解，故可由线性表示，这时； （3）当时，则方程组的增广矩阵因，故方程组无解；从而不能由线性表示.21、证一，用非齐次方程组解的定义去证：因为，所以是的解.证二，用非齐次方程组解的结构定理去证
12、：因为是的解，则是的解，所以也是的解，即是的解.22、，有解的充要条件为，故必要求.23、由题设知均为的解，且线性无关，而为的解，则的通解为.24、对增广矩阵施初等行变换，得同解方程组为，取得，即得非齐次线性方程组的一个解为.对应齐次线性方程组，取得，即对应齐次线性方程组的基础解系为.25、因为线性无关，且，所以，从而的基础解系中含个解向量，又由得，故是的一个基础解系；又由得，即，可见是的一个特解，故的通解为（为任意常数）.26、四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩，又是的三个解向量，则，故的通解为（为任意常数）.27、设小鸡、母鸡、公鸡的个数为，则，由（2）得，由得，即，现求其正整数解为.习
13、题 五1、（1），故的特征值.当时，解方程，由，得基础解系为，对应于全部特征向量为（的任意常数）.当时，解方程，由，得基础解系为，对应于全部特征向量为（不同时为零的任意常数）.（2），故的特征值为.当时，解方程，由，得基础解系为，对应于全部特征向量为（任意常数）.（3），故的特征值为.当时，解方程，由，得基础解系中解向量个数为，因而任意三个线性无关的向量都是它的一个基础解系，不妨取三维单位向量组，就是对应特征值的特征向量，对应于全部特征向量为（不全为零的任意常数）.说明：此结论可推广至阶，不妨取个单位向量组，就是对应于特征值的特征向量。2、由为矩阵的特征值知，从而；把代入矩阵，通过计算得，故.
14、3、由两边左乘得，由得，即，因为，所以，由此得.4、已知是的特征值，故是的一个特征值，则的一个特征值为.5、因是的特征值，故，从而的特征值为，即的特征值为，于是的特征值为，因而.6、用反证法 设是A的属于特征值的特征向量，即则由 ，得即 .因是分别属于不同的特征值的特征向量，从而线性无关，故由上式得即 这与矛盾，因而不是A的特征向量.7、则 ；相似对角矩阵为.8、（1）A中有特征值1,3,0，有三个不同的特征值，故A可相似对角化. （2）B中特征值为1,1,3，当时， 故的基础解系中仅含有一个向量,即只有一个线性无关的特征向量，故B不能相似对角化.（3）由得C的特征值为1个6,2个0，当时，,这说明的基础解系由2个解向量组成，故有两个线性无关的特征向量，故C可相似对角化
