《2022届高考数学一轮复习精品学案第29讲等比数列.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学一轮复习精品学案第29讲等比数列.docx（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第29讲等比数列一课标要求：1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。二命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等根底知识和根本性质的灵活应用，对根本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测2022年高考对本讲的考察为：1题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的12道客观题目；2关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题
2、的解答题也是重点；3解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三要点精讲1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列123都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。注意：“从第二项起、“常数、等比数列的公比和项都不为零2等比数列通项公式为：。说明：1由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；2等比数列的通项公式知：假设为等比数列，那么。
3、3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项。4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，错位相减法。说明：1和各三个可求第四个；2注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；3应用求和公式时，必要时应讨论的情况。四典例解析题型1：等比数列的概念例1“公差为0的等差数列是等比数列；“公比为的等比数列一定是递减数列；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c，以上四个命题中，正确的有 A1个 B2个 C3个 D4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题
4、。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an，an+1an未必成立，当首项a10时，anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题3中，假设a=b=0，cR，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，假设将条件改为b=，那么成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2命题1：假设数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，那么数列an是等比数列；命题2：假设数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0)，那么数列an是等差数列；命题3：
5、假设数列an的前n项和Sn=nan，那么数列an既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有 A0个 B1个 C2个 D3个解析： 由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=SnSn1=(a1)an1。假设an是等比数列，那么=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=SnSn1=2na+ba，假设an是等差数列，那么a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列。由命题3得，a1=a1，当n2时，an=SnSn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an
6、才又是等比数列。题型2：等比数列的判定例3数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。解析：解：因为cn1pcn是等比数列，故有：cn1pcn2cn2pcn1cnpcn1，将cn2n3n代入上式，得：2n13n1p2n3n22n23n2p2n13n12n3np2n13n1，即2p2n3p3n22p2n13p3n12p2n13p3n1，整理得2p3p2n3n0，解得p=2或p=3。证明：设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn。为证cn不是等比数列只需证c22c1c3。事实上
7、，c22a1pb1q2a12p2b12q22a1b1pq，c1c3a1b1a1p2b1q2a12p2b12q2a1b1p2q2，由于pq，p2q22pq，又a1、b1不为零，因此c22c1c3，故cn不是等比数列。点评：此题主要考查等比数列的概念和根本性质，推理和运算能力。例4如图31，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的图31内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为annN*，证明an是等比数列；证明：记rn为圆On的半径，那么r1=tan30=。=sin30=，所以rn=rn1n2，于是a1=r12
8、=，故an成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。题型3：等比数列的通项公式及应用例5一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；那么2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比数列为2，6,18或，。点评：第一种解法利用等比数列的根本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单
9、、实用，缺点是有时计算较繁。例6正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项解析：10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0an+an10 , anan1=5 (n2)。当a1=3时，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比数列a13；当a1=2时,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终
10、求得结果。题型4：等比数列的求和公式及应用例71在等比数列中,前项和为,假设数列也是等比数列，那么等于 A B C D2设，那么等于 AB CD3设等比数列an的前n项和为Sn，假设S3S62S9，求数列的公比q；解析：1因数列为等比，那么，因数列也是等比数列，那么即，所以，应选择答案C。2D；3解：假设q=1，那么有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因a10，得S3+S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q1。由S3+S6=2S9，得，整理得q32q6q31=0，由q0，得2q6q31=0，从而2q31q31=0，因q31，故q3=，所以q=。点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通
11、项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可。例81设an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分别求出an及bn的前10项的和S10及T10；2在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，an，使这n2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n2个数成等差数列.记Ana1a2a3an，Bnb1b2b3bn.求数列An和Bn的通项；当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。3an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an1anan12an22，n3，4，5，求a3；证明anan22，n3，4，5，；求an的通项公式及其前n项和Sn
12、。解析：1an为等差数列，bn为等比数列，a2a42a3，b2b4b32a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差为d，S1010a1由b11，b3知bn的公比为q或q当q时，当q时，。2设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，an，2，等差数列1，b1，b2，bn，2。那么A1a11qA21q1q2A31q1q21q3又an21qn12得qn12，Anqq2qnqn1，2，3又bn21n1d2 n1d1B1b11dB2b2b11d12dBn1d1ndnAnBn，当n7时证明：当n7时，2358AnBn7，AnBn设当n
13、k时，AnBn，那么当nk1时，又Ak+1且AkBk Ak1kAk1Bk1又k8，9，10 Ak1Bk10，综上所述，AnBn成立.3解：由题设得a3a410，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10假设a31，那么a410，a5，与题设矛盾假设a35，那么a42，a5，与题设矛盾假设a310，那么a41，a560，a6，与题设矛盾.所以a32.用数学归纳法证明：当n3，a3a12，等式成立；假设当nkk3时等式成立，即akak22,由题设ak1akak12ak22，因为akak220，所以ak1ak12，也就是说，当nk1时，等式ak1ak12成立；根据和，对于所有n3，有an+1=an1+2。解：由a2k1a2k112，a10，及a2ka2k12，a23得a2k12k1，a2k
