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1、中學生通訊解題第二期參考解答與評析問題編號 88201 將1、2、3、4、9共9個數字填入下列空格，每格數字均相異，且必須符合下列的運算式。試問該如何填上這些數字？(作答時，請說明你的思考過程)參考解答：解答的思考過程：依題意可設abc=de再加=當a=1c=e且b=d(不合)當a=9 or 8de+100(不合)當a=7當b2(不合) 當b=1當c3(不合) 當c=2712=84再加=,填1,5,6,9(不合)當a=6當b2(不合) 當b=161c當c=2,4,5,7,8,9(不合)當c=3613=78再加=,填2,4,5,9(不合)當a=5e=0或5(不合)當a=4當b3(不合)當b=1當
2、c=2,5,6(不合)當c=3413=52再加=,填6,7,8,9(不合)當c=7417=68再加25=93(合)當c=8418=72再加=,填3,5,6,9(不合)當c=9419=76再加=,填2,3,5,8(不合)當b=2當c=1or c3(不合)當a=3當b4(不合)當b=1當c=2,4,5,7(不合)當c=6316=48再加=,填2,5,7,9(不合)當c=8318=54再加=,填2,6,7,9(不合)當c=9319=57再加=,填2,4,6,8(不合)當b=2當c=1,4,5,8(不合)當c=6326=78再加=,填1,4,5,9(不合)當c=7327=81再加=,填4,5,6,9(
3、不合)當c=9329=87再加=,填1,4,5,6(不合)當a=2當b=1,5,6,7,8,9(不合)當b=3當c=1,5,6,7(不合)當c=4234=68再加=,填1,5,7,9(不合)當c=8238=76再加=,填1,4,5,9(不合)當c=9239=78再加=,填1,4,5,6(不合)當b=4當c=1,5,6,7,9(不合)當c=3243=86再加=,填1,5,7,9(不合)當c=8248=96再加=,填1,3,5,7(不合)本題恰有一解,即174=68再加25=93解題重點：1. 用窮舉法討論a的情形。2. 再依a=2,3,4時，就b,c之可能值進行討論。3. 討論完成之後得唯一解。
4、有些同學從b或c進行討論，其過程顯得較複雜。評析：1. 選答本題的同學只需具備窮舉法的概念，再作分段討論即可。而分段方式的選定影響著後續的討論過程。2. 本題參加徵答人數有258人，平均得分為4.83，答題最好的同學有四位，得滿分7分，此四位同學為師大附中國一莫立平，北縣中山國中國二廖元銘，永吉國中國一黃紹倫，永和國中國三黃俊斌。問題編號 88202 任取31個相異的正整數，對它們作任意的排列。試證明：無論怎麼排列都能找到一種方法，照此方法刪除其中的25個數，剩餘的6個數在不變次序的條件下，所構成的數列不是依序增大，就是依序減小。參考解答：1.令x1,x2,x31為1、2、3、31等數字的一組
5、任意順序的排列。設a1=x1， 由x1往後搜尋，遇到第一個比a1小的數字叫做a2，再由a2往後搜尋找到第一個比a2小的數叫做a3，重覆這種搜尋，直到找不到更小的數為止。設最後一個數為an，這樣由a1,a2,an所構成的數列命名為A數列。2.由x1,x2,x31中去掉A數列中的數，剩下者構成另一個數列，稱為X1。令b1為X1中的第一個數，依步驟1中的搜尋方式，又構成一數列b1,b2,bm，稱為B數列。3.再依步驟1、2的方式，找到C、D等數列。4.如此可以產生兩種情形： (1)若這些數列中，有任一數列的數字個數達到6個或超過6個，那麼在X 中次序不變地留下這個數列中的6個數即為合於題意的數。 (
6、2)若沒有一個數列的數字達到6個，則X至少可分成6個數列，設其中最 後一個數列的第一個數為a，則在a所在數列的前一數列中一定可以找到 一數b，使得ab，且b、a在X中的順序是b在a前。在b所在數 列的前一數列中亦可找到一數c，使得abc，且在X中的順序為c-b-a， ，以這樣的方式，至少可以在X中找到6個數，使得它們在次序不 變的情況下，於刪去其餘的數後，形成一個依序增大的數列，而符合題意 之所求。解題重點：1. 可由較小的數目先作作看，在逐漸放大，經由實作找出規則。評析：1. 如解題重點所提，找出規則之後，最好能以較大的數字驗證，最後再以形式化的證明確認結果。2. 本題在證明的過程中，許多同
7、學的敘述方式或許限於數學知識的有限，大多不能嚴謹，但其中以永吉國中的黃紹倫及敦化國中的劉峻豪同學的證法比較完備，且方法各異，劉同學的方法與編者所提供的方法相同，黃同學則用了反證法，也是一種非常特殊的構想，兩位都值得嘉許。此外靜心國中的趙心宇同學如果將其想法以更數學的方法敘述，也是不錯的解答。3. 本題共有10人作答，平均得分為3分。問題編號 88203 港警所接到一個檢舉電話，說在一艘將要啟航的貨櫃輪上有一個貨櫃裝有違禁物品。並給了一個不知何意的數50。根據警方人員的調查與研判，這艘船上的所有貨物都裝在從1開始以連續自然數依次編號的貨櫃中，而且這個數字50是除了藏有違禁物品的那個貨櫃輪外，其他
8、所有貨櫃輪編號的算術平均數。根據這些線索，辦案人員藉由準確的計算找到了這個藏有違禁物品貨櫃箱的編號。你知道他們是怎樣計算出來的嗎？參考解答： 設各貨箱編號依次為1、2、3、4、n。如果去掉的貨箱是1號，則其餘所有貨箱編號的平均數為=+1，如果去掉的貨箱是n號，則其餘所有貨箱編號的平均數為=，於是+1，即101，n=100或n=101，由於50是n-1個正整數的平均數，因此50(n-1)應是正整數，所以n=100。而1+2+100=5050，設去掉的貨箱號數為x，則=50 x=19。故，違禁物品藏在第19號貨箱內。解題重點：1. 樹立應用意識，提高應用能力。評析：1. 本題屬於不等式的應用題，參
9、加答題人數共有109人，平均得分數為4.85。2. 這麼高的答對率，真讓人高興。大多數同學都能從特殊到一般，經由試驗、歸納、猜測得到答案，卻未述及解題的道理，如貨櫃總數n的範圍未具體列出，都僅止於猜測得到。3. 所謂解數學題，實質上，就是依據題目的條件與要求，有步驟地運用數學的原理，進行一系列推理，直到求出題目的答案為止，如果能做到正確、合理、簡潔、清楚、完滿，更是我們所最期待的。本題在答對的103人中，有24人是合於這樣的要求的，如北市中正國中謝卓叡、李中川，民生國中黃彥豪、江家瑋，敦化國中劉峻豪，介壽國中王貫寧，百齡國中蔡欣純，福和國中周佩祺、陳思佑，蘭雅國中許皓淳，師大附中朱勇鑫等同學。
10、問題編號 88204 A S D P R B Q C Q2 B2 P1 R1 P2 A1 S1 D1 S2 P3 R3 C3 Q3 B3 一個凸四邊形PQRS內接於一個邊長為L的正方形ABCD，求證：四邊形PQRS必有一個邊大於或等於L。參考解答：證法一：如圖，作正方形ABCD關於BC的軸對稱圖形A1BCD1；相應地得PQRS關於BC的軸對稱圖形P1QR1S1。再作A1BCD1關於CD1的軸對稱圖形A2B2CD1，以及A2B2CD1關於D1A2的軸對稱圖形A2B3C3D1；相應地得兩四邊形P2Q2R1S2，P3Q3R3S2，連結PP3、AA2，由AA2=2L，AP=A2P3，得PP3=AA2=
11、2L，PQ+QR+RS+SP =PQ+QR1+R1S2+S2P3PP3=AA2=2L，PQ、QR、RS、SP四邊中必有一條大於或等於L。註：著眼於整體，反復運用對稱變換，考慮四邊形PQRS周長的最 小值。證法二：(反證法)假設四邊形PQRS四邊都小於L，四邊形PQRS的內角和為360，它的四個內角中必有一個不大於90。(不妨假設SPQ90)於是，=L2。即，SQL，這與SQAB=L的事實矛盾。故，四邊形PQRS必有一邊大於或等於L。證法三：(本證法由福和國中張中宜同學提供)在正方形ABCD上任取4點a、b、c、d，連、，則、一定會大於或等於L（等於時、平行於正方形的邊）根據托勒密定理，因為，所
12、以則或中必有一個大於或等於不妨設，則在或中，一定有或大於或等於，故此內接四邊形一定有一邊大於或等於解題重點：1. 反證法。2. 利用對稱變換方法，考慮四邊形PQRS周長的最小值。3. 利用廣義托勒密定理與鴿聾原理。評析：1. 本題參與徵答人數，共計62人，平均得分數為4.13分。2. 採用反證法作答且答題品質較佳者共計有南門國中呂明道，介壽國中簡民惠等共15人。3. 採用對稱變換法作答者較少，只有永吉國中黃紹倫，中正國中謝卓叡2人，特別是黃紹倫同學才國中一年級，實在難得。4. 採用廣義托勒密定理作答者計有福和國中張中宜等3人。5. 部分作答者思考解題方式有創意，答題品質頗佳者計有介壽國中王貴寧
13、，衛道中學廖祿塽，敦化國中劉峻豪，民生國中古君陽，南門國中黃彥翔等5人。問題編號 88205 n個客人圍坐一圓桌，按逆時針方向依次編號1,2,3, , n。服務員先給1號座位的客人斟酒，然後再按照逆時針的方向斟酒，但每次都要跳過兩個未被斟酒的客人(已斟過酒的客人自然也要跳過)，才給下一位客人斟酒，但最後一位客人不受此限制。試問：最後一位斟到酒的客人座位編號是多少？參考解答：本解答由 建國中學109班 42號 蕭俊宏 同學提供先將n以1,2,3,代入，動手操作，得表一：表一：n與最後一位斟到酒的客人的座位編號關係表n123456789101112113141516171819202122an12
14、33252582581114369121518213註：an表n個客人時最後一位斟到酒的客人的座位編號觀察an的規則，發現an序列中，斷斷續續出現一些公差為3的等差數列，例如a10,a11,a12,a13,a14即為一組。但若按此規則，n=15時an應該是a14+3=17，但1715顯然是錯誤的。如果我們將按照等差數列規則猜測的an= a14+3=17減去正確的a15=3，得差14，似乎正是n-1。而a15又是另一等差數列的首項，因此這個規則可能存在於兩相鄰等差數列之間。按此規則觀察其他相鄰等差數列，發現也符合此規則（例如a9和a10、a21和a22等等），把這個規則敘述的具體一點，即為:若am ,an-2,an
