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1、 第六章 层次分析法 1、层次分析法的思想方法及用途 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记AHP）是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法 特点：将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，其本质是一种层次化的思维过程 用途：通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，特别适合于解决那些难于完全用定量方法处理的复杂问题。例如，资源分配、选优排序、军事管理、决策预报等领域 2、层次分析法的基本步骤 （1）分析实际问题中各因素之间的关系，建立实际问题的递阶层次结构一般分为三层：目标层、准则层、方案层（或对象层
2、） （2）对于同一层次的各因素对上一层中某一准则（或目标）的重要性（或影响）进行两两比较，构造两两比较矩阵。 （3）由比较矩阵计算各因素对于每一准则的相对权重，并进行比较矩阵的一致性检验 （4）计算方案层对目层标的组合权重，进行组合一致性检验，并依据权重大小进行综合排序。下面结合具体案例介绍层次分析法的一般方法. 6.1 层次分析法的一般方法 问题6-1 最佳工作的选择问题 某大学的一位即将毕业的大学生，已参加了多家用人单位的招聘面试，结果他收到了3家用人单位的录用通知 该学生根据选择工作时所考虑的因素，将三家单位相应的条件进行了比较问题：请你帮助该生毕业生析一下，哪家单位是他的最佳选择？ 表
3、6-1 三个用人单位的基本情况收入（元/年）发展前景社会声誉人际关系地理位置P130000一般高好大城市P210000好中一般小城市P350000较好中较好中等城市一、 问题6-1“选择最佳工作问题”的层次结构图如下图所示 目标层O准则层C选择最佳工作O单位P1单位P2单位P3方案层P收入C1发展前景C2社会声誉C3人际关系C4地理位置C5二、 构造两两比较矩阵设要比较个因素对上一层的影响程度，即要确定它在中所占的比重。对任意两个因素 和 ，用 表示 和对的影响程度之比，按的比例标度来度量。即取1，2，9及其倒数，它们代表的意义如下表3所示。表6-2 比例标度值标度含义1与的影响相同3比的影响
4、稍强5比的影响强7比的影响明显的强9比的影响绝对的强2，4，6，8比的影响之比介于上述两个相邻等级之间1，与的影响之比为上面的互反数以全部比较结果（）为元素构成的矩阵A称为两两成对比较矩阵（或判断矩阵）显然，且，所以又称A为正互反矩阵。由正互反矩阵的性质，只要确定A的上（或下）三角的个元素即可 如果比较矩阵A的元素具有传递性，即满足（），则称A为一致性矩阵，简称一致阵例如，在问题6-1选择最佳工作问题中，不妨假设该学生的偏好及1-9比例标度，两两比较准则层中五个因素对目标层的影响程度，比较矩阵：A一般地，对于定性因素常用1-9比例标度确定两两比较矩阵而对于定量的因素可直接用各因素的数值之比来确
5、定两两比较矩阵设个方案（或对象）的某定量因素的数值分别为，则方案层对因素的两两比较矩阵，令 .不难验证（），所以为一致阵如果矩阵是阶一致阵一致阵则：（1）的秩为1，且有唯一非零特征根；（2）的任一列（行）向量都是对应于特征根的特征向量例如，问题6-1中方案层三个单位对准则层中五个因素的两两比较矩阵： A1, A2，A3，A4，A5三、 确定相对权重向量和一致性检验 常用的向量变换方法：归一化法 设向量，令，则称为向量的归一化向量 1. 确定相对权重向量的方法 （1）特征根法设是因素，对目标的两两比较矩阵如果是一致阵，则A有唯一非零特征根，则用特征根对应的归一化特征向量作为因素，对目标的权重向量
6、，即称为相对权重向量如果A不是一致阵，但在不一致的容许范围内，Saaty等人提出用A的最大特征根对应的归一化特征向量w作为相对权重向量，即满足:A ww的特征向量w归一化后作为，对目标的相对权重向量-特征根法例如，利用MATLAB软件，可求出选择最佳工作问题中所构造的比较矩阵A的最大特征根为=5.090 4，对于的特征向量为将归一化处理可得准则层对目标层的相当权重向量为，其中上标中的2 表示权重向量为第二层的相对权重向量.注：计算比较矩阵A的最大特征根的MATLAB命令为eig(A),计算特征向量的命令为X,D=eig(A),如：在命令窗口中输入 A=1 1 3 3 7;1 1 3 3 5;1
7、/3 1/3 1 1 4;1/3 1/3 1 1 4;1/7 1/5 1/4 1/4 1; eig(A)运行得运行X,D=eig(A)得 最大特征根5.0904对应的特征向量为.需要指出的是：用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，尤其是当矩阵的阶数比较高时.因此，在实际应用中，常常用近似方法计算两两比较矩阵的最大特征根及对应的归一化特征向量（即相对权重向量）.下面介绍两种常用的近似计算方法，即和法和根法.（2） 和法（算术平均法） 第一步：将矩阵的每一列向量归一化:，其中（）； 第二步：对按行求和得向量，其中（）； 第三步：将归一化得近似特征向量即为相对权重向量 第四步：计算得最大特征
8、根的近似值，即其中表示的第个分量（3） 根法（几何平均法） 根法的步骤与和法的步骤基本相同，只需将第二步改为： 第二步：对按行求积，并开次方得，其中（）下面就问题6-1中所构造的两两比较矩阵，,来求最大特征根和相应的权重向量.（1） 由矩阵的构造法可知，是一致阵，所以最大特征根，的任一列向量均为的特征向量，不妨取将归一化即可得权重向量为其中上标中的3 表示权重向量是第三层的相对权重向量，下标1 表示对准则层的第一个因素. （2）对于矩阵，下面用和法来求它的最大特征根及相应的权重向量. ， =，得 对于上面的计算过程，可用MATLAB编程实现，MATLAB程序如下： n=3; A=1,1/5,1
9、/3;5,1,3;3,1/3,1； for j=1 : n a=A(:, j) ; d( j )=ones(1, n)*a; end % 列项求和 for i=1 : n for k = 1 : n B(i, k)=A(i,k)/d(k); % 归一化矩阵 end b(i)=B(i,:)*ones(n , 1) ; %按行求和 end for i=1 : n w(i)=b(i)/n; %归一化 end w f=A*w; f=f./w; g=ones(1, n)*f; lmt=g/n（3） 用与（2）相同的计算方法，可以分别计算得到矩阵,的最大特征根和相应的权重向量，计算结果如表6-3所示. 表
10、6-3 问题1中的权重向量和最大特征根12345332. 一致性检验在实际中 ，用1-9比例标度构造构造一致阵是不太容易的，大多数3阶及3阶以上的两两比较矩阵不是一致阵事实上只要不一致程度在一定的容许范围内，就认为构造的正互反矩阵是合适的Saaty给出衡量比较矩阵不一致程度的指标 设是阶正互反矩阵，为的最大特征根，则的一致性指标: 为了确定的不一致性程度的容许范围，Saaty又引入了随机一致性指标通常是由实际经验给定的，对于不同的，的值如表6-4所示表6-4 随机一致性指标的数值1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51当时，阶正互反
11、矩阵的一致性指标与同阶的随机一致性指标之比称为一致性比率指标，记为，即一般地，当时，则认为矩阵的不一致程度在容许范围之内，这时可用其归一化特征向量作为权重向量例如，由前面的计算可知，问题6-1中所构造的矩阵的一致性指标一致性比率，所以通过一致性检验，可以作为准则层对目标层的相对权重向量. 同样的方法可计算出，和的一致性指标和一致性比率指标，结果如表6-5所示.表6-5 问题6-1中矩阵的一致性指标和一致性比率指标k12345CIk00.019300.01930.0193CRk00.033400.03340.0334 由表6-6可知，所以一致性检验全部通过，表6-4所给出的向量均可以作为方案层对
12、准则层中各因素的相对权重向量四、 确定组合权重向量和组合一致性检验1. 组合权重向量设第层有个元素，第层有个元素，并且第层个元素对目标层的权重向量:第层个元素对上一层（第层）上第个元素的权重向量:，则行列矩阵表示第层上个元素对第层上各元素的权重那么第层上各元素对目标层（最高层）的组合权重向量为一般地，对任意的（），有 (),其中表示第二层上各元素对最高层（目标层）的权重向量2. 组合一致性检验组合一致性检验可以逐层进行设第层的一致性指标为，随机一致性指标为，则第层的组合一致性指标为组合随机一致性指标:组合随机一致性比率:()当时，则第层通过组合一致性检验，依次类推，当最低层第层的组合一致性比率
13、时，则整个层次通过一致性检验例如，问题6-1：第二层对目标层的权重向量为，方案层对准则层上各元素的权重矩阵:则组合权重向量组合一致性检验：，方案层对目标层的组合一致性指标、组合随机一致性指标、组合一致性比率:，由，则通过组合一致性检验 于是，可以认为整个层次通过一致性检验，组合权重向量可以作为最终的决策依据.由可知，单位的权重最大，选择用人单位P1是该学生的最佳方案，单位P3次之，单位P2最差. 6.2 多层次分析的方法 当准则数量过多（比如多于9个）时，应进一步分解出子准则层，将中间层准则层分为几个子层 构造两两比较矩阵是整个层次分析的数据依据，在实际中应由经验和知识丰富、判断能力强的专家或群体完成如果一致性检验没有通过，要反复修正比较矩阵，直到通过一致性检验为止下面通过具体案例说明多层次分析法的实现过程.【案例6-1】选拔优秀参赛队员问题1问题的提出设某学校数学建模教练组根据实际需要，拟从报名参赛的20名队员中
