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1、直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线上一动点,点、B点不在直线上，且固定。当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。【引申】当点移动到什么位置时，P点到点的距离与P点到B点的距离之和最小。【思路】下面3条原理是解决此类问题的基本：1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解； (定理）、运用“在同一平面之中，两点之间,线段最短。” （定理2)3、运用“在同一平面中,三角形的两边之和不小于第三边，两边之差不不小于第三边。” (定理3）【几种不同状况的具体解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值(1）当两固定点在直线同
2、侧时，如图1ABLPMPP”M图 1假设直线上任意一点点,连接点与B点,P点与A点,形成，根据“定理3”,得知PA-B|AB；当P点移动到”点时,分别连接A、B两点，形成”B,根据“定理3”,得知|P”AP”BAB;只有移动到P点,即BA连线的延长线与直线L的交点时,P-P|=。结论:当直线上一动点,与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。计算:P点的位置（或坐标）以及最大值。如图，过A点做直线垂直与直线L，垂足为M，过点做直线垂直于直线L，垂足为M这样， ABM因此，在直角PM中，A/BM=M/M因此，PMPM+M最后得出:P（AMMM)|BM
3、-,以此拟定P点的位置(或坐标)。同样道理，PM/MM=A/B因此，最大值A=M/MP，根据勾股定理计算出A后，就计算出了的长度。图 2(2)当两固定点在直线异侧时,如图ABLPMPP”MA图2对于处在直线异侧的两点,先通过其中一点A做一条垂直与直线L的直线,垂足为M,且使AM=M（即做点对于直线L的对称点),将异侧问题转化为同侧问题。然后，连接A和B点,并延长交于直线于P点，则点就是到A、两点距离之差的绝对值最大时的点。同样,在直线上任意一点P，并连接PA，P，PA,可以看出,在中,|PAPB,由于P=PA,因此，PA-PB|=|AAB。将P点移动到P”点,并构成P”A,同样道理可以得出|P
4、”P”B=|”AP”B|AB同样道理，如果P点移动到”点,与A、B点构成P”AB，P”B+”AA,而”A=”因此,P”BP”AAB只有当点移动到A、B点连线与直线L的交点处时，即P点即处在直线L上,又处在线段AB上时，|PAPB|=A，而PAPA，因此，|PA+PB|=B这时，P点到两定点的距离之和的绝对值才是其她所有点到两定点距离之和的绝对值中最小的。结论：当直线上一动点到直线同侧两固定点之距离之和的绝对值最小时，P点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处。计算:P点的位置（或坐标)以及最小值如图3，过点做直线垂直于直线L，垂足为M由于直角三角形PA与直角三角形PM，三角
5、相等，因此，这两个三角形为相似三角形因此,MP/PM=AB,且PMMM-M因此，M=MAMM（MA+BM ),以此拟定P点位置(或坐标）。又由于,|PA+PB|=|A+P|AB,且M，PM=-MP均已计算出,运用勾股定理，分别计算出A、PB长度,即可拟定B的长度，即P点到两固定点距离之和绝对值的最小值。图4ABLPMPP”M（2）当两固定点在直线L异侧时，如图根据上述同侧问题，我们可以看出，直接连接A、B两点与直线的交点就是符合规定的P点，在此不再累述。【本节结论】直线上一动点到直线外两固定点的距离之和的绝对值只存在最小值,没有最大值。当两固定点在直线同侧时,动点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处;当两固定点在直线异侧时,动点位于两固定点连线与直线的交点处。推导出：（）当两固定点在直线上时,动点到两固定点的距离之和的绝对值的最小值,有且只有一种,就是两固定点之间的线段长。（2）当两固定点在直线上时,直线上的动点到两固定点的距离之差的绝对值的最大值和距离之和的绝对值的最小值相等，即两固定点之间的线段长。
