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1、杆件的塑性变形15.1 概 述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。 15.2 金属材料的塑性性质 图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 （15.1）图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线图15.2 弹塑性应力-应变 弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。 下面是几种常见的塑性材料模型。图15.3 理想弹塑性材料模型图15.4刚塑性材料模型图15.6刚塑性线性强化材料模型图15.5线性强化材料模型图15.7幂强化材料模型有时
2、也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷逐渐增加时，杆件两端的反力是图15.8 两端固支杆 (a)力作用点的位移是 (b)如则。随着的增加，段的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷为，载荷作用点的位移为，由（）、（）两式求得 由平衡方程可知 (c)载荷作用点的位移为 (d)段也进入塑性阶段时，由（）式求出相应的载荷为图15.9 三杆桁架载荷达到后，整个杆件都已进入塑性变形。 例18.1 在图15.9所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积
3、同为。试求使结构开始出现塑性变形的载荷、极限载荷。 解：以和分别表和杆的轴力，表杆的轴力。令，得 (e)当载荷逐渐增加时，杆的应力首先达到，这时的载荷即为。由（）式的第二式得由此解出载荷继续增加，中间杆的轴力保持为,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力也达到，相应的载荷即为极限载荷。这时由节点的平衡方程知加载过程中，载荷与点位移的关系已表示于图15.9中。15.4 圆轴的塑性扭转圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即 (a) 图15.10 圆轴受扭转随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限（图15.10）。若相应的扭矩为，由（）式知 (b)极限扭矩，其
4、值为取代入上式后完成积分，得 (15.4)达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。例18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11所示，并可近似地表为 式中m和皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。图15.11剪应力和剪应变的关系解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（）式，求得横截面上任意点处的剪应变为 (d)式中是扭转角沿轴线的变化率，为横截面上一点到圆心的距离，即为该点剪应变。（）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11）。由（）、（）两式求出 (e)或者写成 (f)横截面上的扭矩应为取,并以(f)式代入上式， (g)从（）和（）
5、两式中消去，得剪应力的计算公式 (h)令，得最大剪应力为当时，材料变为线弹性的，上式变为由（）式知故有 积分求得相距为的两个横截面的相对扭转为 (i)当，时，上式化为这就是公式（3.17）。15.5 塑性弯曲和塑性铰1551纯弯曲 根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为 (a)式中是曲线的曲率。静力方程： (b) (c)在线弹性阶段，有 (d)若以表示开始出现塑性变形时的弯距，由（）式知 (e) 载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为（图15.12）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有 如以和分别表示中性轴
6、两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（）化为若整个横截面面积为，则应有故有 (15.5)图 15.12 纯弯曲极限情况下的弯矩即为极限弯矩，由静力方程（）得图15.14 矩形截面梁的横力弯曲和塑性铰 式中和分别是和的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成 (15.6)【例15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩和极限弯距。解：对矩形截面梁（图15.13），由（）式得开始出现塑性变形的弯矩为由公式（15.13）求得极限弯矩为图 15.13 矩形截面和圆截面和之比为所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%。 对圆截面梁,从开始塑性变形到极
7、限情况，弯矩增加70%。15.5.2 横力弯曲 横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为的横截面上的应力分布情况放大成图15.14。在这一截面的塑性区内，；弹性区内，。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为 (15.7)还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为令以上两式相等，得 (f)这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为，在（）式中，令，得由此求得塑性区的长度为式中随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值。15.6 梁的塑性分析对图15
8、.14中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为。当达到极限弯矩时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性铰。这就是梁的极限状态，这时的载荷也就是极限载荷。若梁的截面为矩形，于是极限载荷为对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。以图15.15所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。根据塑性铰上的力偶矩为，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。由图15.15所示极限状态为例，由段的平衡方程，得再由整条梁的平衡方程，得图15.15静不定梁受集中载荷把的值代入上式后，解出 例154 在均布载荷作用下的静不定梁如图15.16所示。试求载荷的极限值。图 15.16静不定梁受均布载荷解：梁的极限状态一般是
9、跨度或跨度变成机构。现将上述两种情况分别进行讨论。要使跨变成机构，除、两截面形成塑性铰外，还必须在跨度内的某一截面上形成塑性铰（图15.16）。由于对称的原因，塑性铰一定在跨度中点，且。再由部分的平衡方程，得 将代入上式，解出 （a）这是使跨达到极限状态时的均布载荷。 现在讨论跨度。要使它变成机构，除支座截面要成为塑性铰外，还要在跨度内的某一截面上形成塑性铰。设截面到支座的距离为。这样可把跨分成图15.16中的和两部分。对这两部分分别列出以下平衡方程： （b）从以上两式中消去，得显然应取前的正号，即将的值代入（b）式的第一式，即 （c）这是使跨达到极限状态时的均布载荷。比较（a）、（c）两式，
10、可见整个静不定梁的极限载荷是。 15.7 残余应力的概念 载荷作用下的构件，当其某些局部的应力超过屈服极限时，这些部位将出现塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷解除，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相互作用的应力，这种应力称为残余应力。例15.6在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应力。设材料是理想弹塑性的。 解：当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图15.14。根据公式（15.7），截面上的弯矩为这时梁内的最大应力为。卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且它引起的应力
11、按线弹性公式计算，即最大应力为叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为图 15.18 残余应力由正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图15.18所示。15.8 塑性条件和塑性曲面受力构件一点处的应力状态，由它的三个主应力来表示。按照第三强度理论，如对主应力的记号采取的规定，材料开始屈服的塑性条件为公式（15.2）。如对主应力的记号不采取的规定，即中的任一个都可能是最大或最小的主应力，这时塑性条件（15.2）应写成 （a）在二向应力状态下，以上条件变为图15.19 当时的塑性条件 图15.20 在主应力空间中的特雷斯卡塑性条件， （b） 塑性条件（b）在平面中是一个六角形，如图15.19所示。在三向应力的情况下，塑性条件（a）在应力空间中是六个平面。这就是特雷斯卡塑性条件的几何表示。如图15.20所示。柱面以内的点代表不发生塑性形变的应力状态，而柱面上的点代表进入塑性形变的应力状态。这样的柱面称为塑性曲面。按照第四强度理论，材料的塑性条件为公式（15.3），即 （c）在二向应力状态下，以上塑性条件化为 （
