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1、空间向量与立体几何习题一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是A.a+b+c B.a+b+cC.ab+c D.ab+c2.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A. B.C. D.3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于A. B. C. D.4.若，与的夹角为，则的值为A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设，则线段的中点到点的距离为A. B. C. D.6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是正
2、方体圆锥三棱台正四棱锥A B C D7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是俯视图正(主)视图侧(左)视图2322A.B.C.D.8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为609.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A. B. C. D.10.ABC的三个顶点分别是，则AC边上的高BD长为A.5 B. C.4 D.二、填空题（每小题5分，共20分）11.设，且，则 .12.已知向
3、量，且，则=_.13.在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为 14.如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面PAD的距离为 .三、解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设（1）试用表示出向量；（2）求的长16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该
4、多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG.17.（本小题满分12分）如图，在四面体中，点分别是的中点求证：（1）直线面；（2）平面面18.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体的对角线上，PDA=60.（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论;（3）若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面
5、，分别是的中点（1）证明：；PBECDFA（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值练习题参考答案一、选择题1.=c+(a+b)=a+b+c，故选A.2.故选D.3.,故选B.4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D10.由于，所以,故选A二、填空题11.9 12.313.作ACx轴于C，BDx轴于D，则14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是，取得，到平面PAD的距离.三、解答题15.解：（1）是PC的中点，（2）.16.解：（1）如图（2）所求多面体体积ABCDEFG（3）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以
6、面17.证明：（1）E,F分别是的中点，EF是ABD的中位线，EFAD，AD面ACD，EF面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是的中点，CFBD又EFCF=F, BD面EFC，BD面BCD，面面.18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由，可得ABCDPxyzH解得，所以（1）因为，所以，即与所成的角为（2）平面的一个法向量是因为，所以，可得与平面所成的角为19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2.(2)不论点E在何位置，都有
7、BDAE证明如下：连结AC，ABCD是正方形，BDACPC底面ABCD 且平面BDPC又BD平面PAC不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位置，都有BDAE(3)解法1：在平面DAE内过点D作DGAE于G，连结BGCD=CB,EC=EC，ED=EBAD=AB，EDAEBA，BGEA为二面角DEAB的平面角BCDE，ADBC，ADDE在RADE中=BG在DGB中，由余弦定理得=，二面角DAEB的大小为.解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则,从而设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，则，设二面角DAEB的平面角为，则，二面
8、角DAEB的大小为.20.（1）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（2）解：设，为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角在中，所以当最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以解法一：因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBECDFAyzx，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为9
