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1、三角形全等例5、如图，已知线段ABCD，AD与B C相交于点K，E是线段AD上一动点。 连接BE，若BE平分ABC，则当AE= AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明 1、 如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD 证明：在AC上取AF=AE，连接OF，则AEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=1 2 （180-B）=60则AOC=180-ECA-DAC=120；AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60，（对顶角相等）则COF=60，COD=
2、COF，又FCO=DCO，CO=CO，FOCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD例7如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN 若将中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由若将中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=_时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.解：（1）AE=MC,BE
3、=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135 在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立 在边AB上截取AE=MC，连接ME ABC是等边三角形， AB=BC，B=ACB=60， ACP=120 AE=MC，BE=BM BEM=EMB=60 AEM=120 CN平分ACP，PCN=60， AEM=MCN=120CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAM AEMMCN，AM=MN （3）1、如图1，2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不
4、与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F（1）如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_；请证明你的上述猜想（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论解：（1）DE=EF；证明：四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，DN=EB=AN=AE，AEN为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=180-45=135，BF平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，D
5、NEEBF，DE=EF；（2）DE=EF，证明：连接NE，在DA边上截取DN=EB，四边形ABCD是正方形，DN=EB，AN=AE，AEN为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=180-45=135，BF平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，DNEEBF，DE=EF2、如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位
6、置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由解：（1）AB=AP； ABAP. （2）BQ=AP； BQAP. 证明：EF=FP，EFFP， EPF=45. 又ACBC， CQP=45， CQ=CP. 在BCQ和ACP中， BC=AC，BCQ=90=ACP，CQ=CP， BCQACP. BQ=AP. 延长BQ交AP于点M. BCQACP， CBQ=CAP. CBQCQB=90， CQB=AQM， CAMAQM=90， QMA=90，即BQAP. （3）成立. 证明EPF=45， CPQ=45， 又ACBC， CQP=45， CQ=CP. 在BCQ和ACP中， BC=AC，BCQ=90=ACP，CQ=CP， BCQACP. BQ=AP. 延长QB交AP于点N. BCQACP， CQB
