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1、空间向量与立体几何1 如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点B，且BACA1B1C1（1）求棱与BC所成的角的大小；(2)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值ks5uBACA1B1C1zxyP解法一：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，故与棱BC所成的角是 6分（2）设，则于是（舍去），则P为棱的中点，其坐标为 8分设平面的法向量为，则, 即 令 故 11分而平面的法向量=(1,0,0)，则故二面角的平面角的余弦值是 13分BACA1B1C1解法二：(1) 由题意可知，所以是与棱BC所成的角(或其补角)，连接和，又，且，.在平行四边形中，由余弦定理可得，在Rt中，
2、由勾股定理可得.在中，由余弦定理可得，故棱与棱BC所成的角是(2) 作于Q，连接QA，PA， 作于R，则R应在AB的延长线上，连接PR， 由题意可知， ，是二面角的平面角. 设，则， 在中， ， 在Rt中，由可得， 解得或(舍去)，即P是中点. 在Rt中， ， ，即二面角的平面角的余弦值是2如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,. (1) 求证：平面； (2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值.（1）证明: 连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点. 为的中点，为的中位线, . 2分平面,平面,平面. 4分(2)解: 依题意知， 平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，
3、垂足为，则平面， 6分设，在Rt中，四棱锥的体积 . 8分依题意得，即. 9分(以下求二面角的正切值提供两种解法)解法1:,平面，平面，平面.取的中点，连接，则,且.平面.作，垂足为，连接，由于，且，平面.平面,.为二面角的平面角. 12分由RtRt,得,得,在Rt中, .二面角的正切值为. 14分解法2: ,平面，平面， 平面.以点为坐标原点,分别以,所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,. , 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, 11分 又平面的一个法向量为, ,. 12分 ,. 13分 ,. 二面角的正切值为. 14分3如图6，正方形所在平面与圆所
4、在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，圆的直径为9 （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值（1）证明：垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， 在正方形中，平面平面，平面平面 （2）解法1：平面，平面， 为圆的直径，即设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， 过点作于点，作交于点，连结，GF由于平面，平面，平面平面，平面平面，是二面角的平面角在中， 在中， 故二面角的平面角的正切值为 解法2：平面，平面，为圆的直径，即 设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， xyz以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，来源:学科 设平
5、面的法向量为， 则即取，则是平面的一个法向量设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量， 故二面角的平面角的正切值为4如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD；（）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.（）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以AE平面PAD，又PD平面PA
6、D.所以 AEPD.（）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以当AH最短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大.此时tanEHA=因此AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以PA=2.解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45
7、=, 又 在RtESO中，cosESO=即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以设平面AEF的一法向量为则 因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（），所以 cos, =因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为5如图3，在四面体中,，且图3(1)设为的中点，证明：在上存在一点，使，并计算的值；(2)求
8、二面角的平面角的余弦值.解法一：（1）在平面内作交于，连接. 又，.取为的中点，则， ， 在等腰中， ， 在中， ， 在中， ， ， （2）连接 ， 由，知：. 又， 又由，.又,又是的中点, 为二面角的平面角 在等腰中， 在中， ， 在中, . 解法二：在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）则 为中点， 设 . 即，. 所以存在点 使得 且.（2）记平面的法向量为,则由，且，得， 故可取 又平面的法向量为 . 二面角的平面角是锐角，记为，则6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1
9、，PA=2，E为PD的中点. （）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解法1：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为. （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.解法2：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中
10、，AO=1，OE=即AC与PB所成角的余弦值为. （）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离ABCD7如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，（）求证：与共面，与共面；（）求证：平面平面；（）求二面角的大小的余弦值解法1（向量法）：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有ABCD（）证明：与平行，与平行，于是与共面，与共面（）证明：，与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面（）解：设为平面的法向量，于是，取，则，设为平面的法向量，于是，取，则，二面角的大小为解法2（综合法）：（）证明：平面，平面，平面平面ABCD于是，设分别为的中点，连结，有，于是由，得，故，与共面过点作平面于点，则，连结，于是，所以点在上，故与共面（）证明：平面，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面又平面过，平面平面（）解：直线是直线在平面上的射影，根据三垂线定理，有过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角根据勾股定理，有，有，
