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1、高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以技巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)（由平方平均数算数平均数可证） (11) (12) (13) (14) (1
2、5) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案注： (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足.设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,因为,于是例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所
3、以原命题成立.例6.已知,求证:.解析:所以 从而例7.已知,求证:证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案。注：,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明，例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有,
4、 所以,所以,令有, 所以,所以 例14. 已知证明. 解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2008年福州市
5、质检)已知函数若 解析:设函数 函数）上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令则 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明4，; (2)证明有，使得对都有. 解析:
6、(1) 依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，则 设，则当时，。所以，取，对都有：故有成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证.五
7、、迭代放缩 例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 例26. 设,求证:对任意的正整数k,若kn恒有:|Sn+kSn| 解析: 又 所以 六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到所以 例28. 求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到 例29. 若,求证: 解析: 所以就有 七、分类讨论 例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有 解析:容易得到, 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函
8、数.若对一切，求的最大值。 解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为因此对一切，的充要条件是， 即，满足约束条件，由线性规划得，的最大值为5 九、均值不等式放缩 例32.设求证 解析: 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证：解析: 例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.解析: 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，
9、. 例35.求证解析: 不等式左=，原结论成立. 例36.已知,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到 例37.已知,求证: 解析: 其中:,因为 所以 从而,所以. 例38.若,求证:. 解析: 因为当时,所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以 例39.已知,求证:. 解析:. 例40.已知函数f(x)=x2(1)k2lnx(kN*).k是奇数, nN*时,求证: f(x)n2n1f(xn)2n(2n2). 解析: 由已知得，(1)当n=1时，左式=右式=0.不等式成立.(2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以综上，当k是奇数，时，命题成立 例41. （2007年东北三校）已知函数 （1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围； （2）令求证： 例42. (2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明：解析:对任意给定的,由,若令 ，则 ,而 （一）、先证；因为，又由 ，得 所以（二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则（）、当，则，所以，因为 ，此时 （）、当，由得 ,，因为 所以 同理得 ，于是 今证明 , 因为 ，只要证 ，即 ，也即 ，据，此为显然 因此得证故由得 综上所述，对任何正数，皆有 例43.求证:解析:一方面:(法二)
