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1、原子与原子核物理学习题答案第一章 1.1 若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭放射的，其动能为电子伏特。散射物质是原子序数的金箔。试问散射角所对应的瞄准距离多大？解：根据卢瑟福散射公式：得到：米式中是粒子的功能。1.3 钋放射的一种粒子的速度为米/秒，正面垂直入射于厚度为米、密度为的金箔。试求所有散射在的粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为。解：散射角在之间的粒子数与入射到箔上的总粒子数n的比是：其中单位体积中的金原子数：而散射角大于的粒子数为：所以有：等式右边的积分：故即速度为的粒子在金箔上散射，散射角大于以上的粒子数大约是。1.4能量为3.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为
2、的银箔上，粒子与银箔表面成角。在离L=0.12米处放一窗口面积为的计数器。测得散射进此窗口的粒子是全部入射粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。60t,t2060图1.1解：设靶厚度为。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度，而是，如图1-1所示。因为散射到与之间立体角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为： (1)而为： （2）把（2）式代入（1）式，得：（3）式中立体角元N为原子密度。为单位面上的原子数，其中是单位面积式上的质量；是银原子的质量；是银原子的原子量；是阿佛加德罗常数。将各量代入（3）式，得：由此，得：Z=471.5 动能为40
3、MeV的粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少?解：由公式: , 当对心碰撞时,则1.6 动能为0.87MeV的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角时,它们之间的最小距离是多少?解：最小距离为: 1.7试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，可得：频率 速度：米/秒加速度：1.9 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。解：电离能为，把氢原子的能级公式代入，得： = 13.60电子伏特。电离电势：伏特第一激发能：电子伏特第一激发电势：伏特1.10 用能量为12.5电子伏特的电
4、子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4等能级上去所需要的能量是： 其中电子伏特电子伏特电子伏特电子伏特其中小于12.5电子伏特，大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到的能级上去，所以只能出现的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：1.11 试估算一次电离的氦离子、二次电离的锂离子的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。a) 氢原子和类
5、氢离子的轨道半径：b) 氢和类氢离子的能量公式：其中电离能之比：c) 第一激发能之比：d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：，其中是里德伯常数。氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：相应地，对类氢离子有：因此，1.15 试问二次电离的锂离子从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子的电子电离掉？解：由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：的电离能量为：由于，从而有，所以能将的电子电离掉。1.17 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长为多少？解：1.18氢与其同位素氘（
6、质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（）光谱线之间的波长差有多大？已知氢的里德伯常数，氘的里德伯常数。解：，1.19 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：。已知锂原子电离成离子需要203.44电子伏特的功。问如把离子电离成离子，需要多少电子伏特的功？解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以离子电离成离子时，有是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此时，电离能为：。设的电离能为。而需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有1.20 试证明氢原
7、子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率。当n1时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：频率为：当n时，有，所以在n1时，氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为：。设电子在第n轨道上的转动频率为，则因此，在n1时，有由上可见，当n1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。2.4经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：
8、 对于电子：把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：对于质子，代入波长的表示式，得：2.9假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写： 式中，E和a分别为确定常数，A为归一化系数，计算归化的波函数和概率密度。解：根据波函数的归一化条件，有得 故归一化波函数为 相应的概率密度2.10假设氢原子处于n =3, l =1的激发态 ,问原子的轨道角动量如何？其在空间有哪些可能取向?计算各可能取向的角动量与 z 轴之间的夹角。 解：由于轨道角动量由角量子数决定，而角量子数为=1,则轨道角动量取值为： ，角动量空间取向有三个，即2hp4hh 2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子
9、束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为特斯拉/米，磁极纵向范围=0.04米(见图2-2)，从磁极到屏距离=0.10米，原子的速度米/秒。在屏上两束分开的距离米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域后向外射出时粒子的速度为，出射方向与入射方向间的夹角为。与速度间的关系为：粒子经过磁场出射时偏离入射方向的距离S为：（1）将上式中用已知量表示出来变可以求出把S代入（1）式中，得：整理，得：由此得：第三章3.1 已知原子光谱主线系最长波长，辅线系系限波长。求锂原子第
10、一激发电势和电离电势。解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为，电离电势为，则有：3.2 原子的基态3S。已知其共振线波长为5893，漫线系第一条的波长为8193，基线系第一条的波长为18459，主线系的系限波长为2413。试求3S、3P、3D、4F各谱项的项值。解：将上述波长依次记为容易看出：3.3 K原子共振线波长7665，主线系的系限波长为2858。已知K原子的基态4S。试求4S、4P谱项的量子数修正项值各为多少？解：由题意知：由，得：设,则有与上类似3.4 处于3D(3P)激发态的锂原子，向低能级跃迁时可
11、产生哪些光谱线？在能级图上表示出来：（1）不考虑精细结构；（2）考虑精细结构。解：（1）不考虑精细结构时，如图（a）所示。（2）考虑精细结构时，如图（b）所示。2S22222PPP PPP3P3DP3S3P3D(图a)32S1/222S1/222P3/222P1/232P3/232P1/232D5/232D3/23.5 钠原子共振线的双线波长分别为589.0nm和589.6nm，试求3P能级精细结构的裂距。解：3.6 试计算氢原子赖曼线系第一条谱线的精细结构分裂的波长差。解：如右图示，赖曼线系第一条谱线的两条分线为 ， 由能级公式 （，）第四章4.1按L-S耦合写出下列组态所组成的全部原子态,
12、并写出原子态符号.(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1) , , , .构成1S0,3S1.(2) , , , .构成的原子态如表(2).(3) , , , .构成的原子态如表(3).(4) , , , .构成的原子态如表(4).(5) , , .构成的原子态如表(5).S=0S=1L=11P13P2,1,0(2)S=0S=1L=21D23D3,2,1(3)S=0S=1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2(4)S=0S=1L=01S03S1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2L=41G43G5,4
13、,3(5)4.2已知氦原子的2p3d 组态所构成的光谱项之一为3D,问这两个电子的轨道角动量L1和L2之间的夹角,自旋角动量S1和S2之间的夹角分别是多少?解: 对组态为2p3d的两个电子l1 =1 , l2 =2 , s1 = s2 = 1/ 2.轨道角动量大小为 , 它们构成的光谱项3D对应的 l = 2 , s = 1即它们总的轨道角动量L的大小为 它们总的自旋角动量S的大小为 由L = L1 + L2 ,如右图所示,可得轨道角动量L1和L2之间的夹角则: , .类似地自旋角动量S1和S2的大小为 则自旋角动量S1和S2之间的夹角得: , .4.3写出下列各态中S、L、J值并指出这些原子
14、态中哪些是可能的，哪些是不可能的。 4.4试以两个价电子为例说明,不论是LS耦合还是jj耦合都给出同样数目的可能状态.证明:(1)LS耦合5个 L值分别得出5个J值,即5个单重态代入一个L值便有一个三重态个L值共有乘等于个原子态：因此，LS耦合时共有个可能的状态（）jj耦合：将每个合成J得：共个状态：所以，对于相同的组态无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出同样数目的可能状态3s1S04s1S03p1P14s3S13p3P23p3P13p3P0(4.5题图)4.5已知Mg原子(Z=12)的光谱项的各多重态(原子态)属于L-S耦合,则该原子由3s4s组态向3s3s组态跃迁时,将出现哪些谱线?画出能级跃迁图.(提示:中间有3s3p
