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1、镇江二中高二数学备课组（理科班）排列组合应用总结和习题（二）组合出题人：严鹏 审核人：於珍红组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。以下是解决组合问题的几种方法1、 直接法或间接法例1、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意取出3件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1件次品，有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法？（答案）(1)C (2)CC(3) CC+CC (或CC)练习：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入选（3）A、B 、C三人只有一人入
2、选（4）A、B、C三人至少一人入选（5）A、B、C三人至多二人入选（答案）(1)C (2)C (3)CC (4)CC+CC+CC ( 5)CC+ CC+ CC (或CC)2、分组分配例2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本（分析）（1）先分给甲有 C种,再分给乙有 C种,最后为丙有 C种,共C C C=90种（2）问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份，设有x种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有A种
3、,即有xA= C C C x=15种说明：（1）（2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又分配。那么为什么在（2）中也就是只分组的问题中要除去 A呢？比如A、B 、C、D四个元素要均分为两组，先取AB再取CD为一种即 或先取CD再取AB为另一种即，由于只分组即AB与CD间是无序的因而只能算一种分法。因而“分组分配”有如下一般结论：a) 将2n个元素均分为两组方法数：种。b) 将3n个元素均分为三组方法数：种。c) 将kn个元素均分为k组方法数：种。d) 将n个元素均分为m组每组r个（mr=n）方法数：e) 若再将m组分配给m个对象，则分配方法有m! (3)先分一本，再分二本，最后分
4、三本，即得分三组的方法数共有CCC=60种(4)先要把收分成三组有CCC=60种，再分配给三人有A种 共有ACCC=360种。练习：六本不同的书，分成3组，1组4本，其余各1本有多少种分法？（答案）3、隔板法例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市课外知识竞赛，使代表中每个班至少有1人参加的选法有多少种？（分析）由于12个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数。12个“0”形成11个空隙，用6个隔板可将其分成7组，有C种不同的插法,即C=462种。练习：10个相同的球放入6个盒中，每个盒中至少一个的放法有多少种。（答案）C=1264
5、、插空法例4、某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以熄灭其中的3盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？（分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九盏灯亮着，则有8个空隙，在这8个空隙中安排3盏灯故有C种。练习：一排无区别的座位10个，3个人来坐，都不能坐两头，且两人之间至少有一个座位，问有多少种不同的坐位？（答案）C5、 递推法例5、一楼梯共10级，如果规定每次只能跨下一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？（分析）设上n级楼梯的走法为an种,则a1=1,a2=2,当n2时，上n级楼梯的走法可分两类：一类是最后一步跨一级有an1
6、种走法，另一类是最后一步跨二级有an2种走法,则有an= an1+ an2 由a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=a5+a4=13,a7=a6+a5=21,a8=34, a9=55,a10=89练习：一个楼梯共18级台阶，一步可跨一级或两级台阶，若12步登完共有多少种不同的走法？（分析）一步一台阶x个，一步二台阶y个则有得x=6,y=6，即无论哪种走法都有6个一步一台阶6个一步二台阶的，因而转化为求12步中任选6步的不同选法：C=924 巩固练习1、 从五双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一双的可能性有多少种？2、 有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的放法？3、 某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该年级的两个班，每班二名有多少不同的方案？4、 四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个空盒的放法有多少种？5、 平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点任何三点不共线，则这几个点能形成多少条直线？多少个三角形？（答案）1、130 2、C 3、CC 4、CA=144 5、CC+1，CC第 3 页 共 3 页
