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1、参数法求轨迹方程 一、教学目标(一)知识教学点深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法(二)能力训练点掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性(三)学科渗透点通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法二、教材分析1重点：运用参数求轨迹方程的方法2难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论3疑点：设参的基本原则三、活动设计1活动：问答、思考2教具：投影仪四、教学过程(一)回忆、点题和明确任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系
2、比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的
3、运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结(二)讲例1，设参基本原则请看屏幕(投影，读题)例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，ab，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)
4、首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？学生1答：选择边界、中心等特殊位置那么，这一题如何建立坐标系？解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)运动系统中，l主动，M、N从动，P随之 运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？学生2答：(1)l的纵截距c，(2)|OM|=t，(3)|FM|=t为什么可以这样设参？一参对一点P，一P对一参，参变化P运动，参固定P静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参这就是设参的基本原则设|FM|=t，t0，b，P(x，y)学生3答：不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参
5、即可，这是列式的基本要求上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参参数t0，b范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性l过F时，P合于F，lOC时，PB故x0，y0影片，显示轨迹)(三)讲例2，选参的一般依据上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)例2 点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足ABAC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于ABAC，所以若B主
6、动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？学生4答：(2)设点B坐标(t2，t)kABkACCP上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？学生5答：解：设B(t12，t1)，C(t22，t2)P(x，y)参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间本身有一个关系，F(t1，t2)=0，而这一关系在消参的运用上或
7、许无需显解成t1=f(t2)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1，t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来是否真的如此，算算看： (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2， (y+1)2=x+1+2-(y+1)-2即：(y+2)2=x-2想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点
8、坐标关连密切的为参数这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参最后来讨论纯粹性和完备性同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求而用几何直观也比较困难，把两者结合起来：示轨迹)由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直观与参数函数相结合(四)小结(已在教学过程中逐条总结并板书)参数法求轨迹方程的步骤：设参：一切可以控制运动系统的量都可以设参(基本原则)，从中选择与动点关连密切的为参数
9、(一般依据)设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参假含参式(即虽有x、y，但并非动点坐标)不能参与消参议参：几何直观与参数函数相结合五、布置作业1E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点，长为的轨迹(图3-11)解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E(-1，0)， 即 x2-y2=1据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双2点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且ABAC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)解：设B(2cos，2sin)、C(cos，2sin)、P(x，y) x2+y2=2+2(coscos+sinsin)kACkAB=-14(coscos+sinsin)=2(cos+cos)+2(sin+sin)+2 x2+y2-2=2x+2y+2即(x-1)2+(y-1)2=23教材第121页第7、8题六、板书设计
