《感受递推迭代思想.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《感受递推迭代思想.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 挖掘技术表征优势,感受递推迭代思想摘 要：图形计算器于数列有多元表征优势，突破数列教学的难点可以在手持技术的支撑下：列表比较中认识递推，图象直观中感受叠加，数形结合中研究性质；以让学生在亲身操作中感受数列的递推迭代思想；教学实践带来启示和思考：图形计算器于数列有多元表征优势，能为学生“做数学”提供有效载体，让手持技术走近学生需要教师不断挖掘课题资源关键词：图形计算器；多元表征；数列教学；递推迭代作为一种反映自然规律的基本数学模型，数列在现实生活中有着广泛的应用；因此课程标准要求教学时需注重背景和应用，关注学生的参与和发现，注重将数列作为一种特殊的函数来学习 但数列教学的现状却令人不安，往往仍
2、是将已构造好的现成的数学知识（如等差、等比数列的通项公式、求和公式等）端给学生，让他们“理解掌握、灵活运用” 究其原因：学生的认知背景以连续数集为主，对数列这样一种离散的有次序变化的过程，对数列特有的递推迭代思想，心理上很难“同化”；而缺乏理想的教学手段也是一原因，因为数列的离散性，常用的技术手段很难呈现笔者在教学实践中发现，图形计算器对数列有多元表征（列举、图像、符号等）优势，引进图形计算器于数列教学，可以让学生在亲身操作中感受数列的递推迭代思想，在自身的“再创造”而自然“生长”出新的有效而能发展的知识 本文以casio fx-9750g为工具平台，在功能介绍、方法操作中体现图形计算器于数列
3、的多重表征优势应用图形计算器于数列教学的实践举例1 列表比较中认识递推递推是数列的特有语言，强调的是相邻两项或三项之间的关系，传统的数列教学对于数列的递推公式及“递归”思想关注较少，往往只是给出一些有递归特性的语言描述（如：一个非零数列从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数） 下文以问题“已知数列an满足a1=2，an+1=（nn*），求a2011”为例，体现图形计算器在帮助学生熟悉“递归”思想方面的天然优越性方案一：利用功能键ans实现递推fx-9750g有功能键“ans”，其操作方式是按ln，作用在于记忆上次的运算结果并带入到下一次运算，我们可以用此功能键实现简单的递推具体操作步
4、骤（斜体字是对按键步骤的说明）如下：1（选择进入运算矩阵模式）；2l（输入首项）；j5ln-13kmj3ln-7kl（输入递推公式，并执行得数列的第二项）；l（以同种递推公式得第三项）；l；l效果如图1所示，可以发现数列an以3为周期呈周期性变化，这样可知a2011=a1=2run?mat运算矩阵模式只能进行简单递推运算，复杂些的递推运算则需在recur数列递归模式下进行操作方案二：recur模式下实现递推进入recur数列递归模式后，主菜单如图2所示，其中功能键type表示递推的类型选择，set表示递推数列的开始项和结束项的设置，table则是将递推数列按项数n和生成表格；按w键进入“sel
5、ect type”菜单（如图3），可以发现fx-9750g有非递推数列（即通项公式）、两项递推和多项递推数列三种类型（本例选择w）；主菜单中按y键进入递推数列初终值设置界面，按图4所示进行设置 具体的操作步骤如下：6（选择进入recur数列递归模式）；ew（选择递推公式样式为两项递推）；j5w-13kmj3w-7kl（输入递推公式）；y2008l2012lw2l（设置数列的首项和表格显示项）；du（生成表格）效果如图5，可以发现a2011=2利用图形计算器的表格功能为递推数列提供了很好的表征形式，学生在亲身操作中可以直观地感受递推思想 而面对“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天 坛坛罐罐求堆垛，步
6、步为营算连环”这样的递推问题可以让学生直观感受2. 图象直观中感受叠加对于学生而言，数列的前n项和是另一理解难点，因为其中体现叠加思想不太容易被理解和接受，需要借助图形计算器提供直观感知的载体，下文以问题“数列an中，an=-3n+25，sn为数列an的前n项和，求sn的最大值”为例方案一：利用“ display”选项实现求和操作步骤如下：按lp键进行系统设置，在弹出窗口中按nb键找到“ display”选项，按q键打开选项（如图6）主菜单中选择递推类型为q，输入数列的通项公式后按u进入table窗口（如图7），可以发现表格中多了a一栏按u后再按u作出数列的图象（如图8），可以按lq实现指针跟
7、踪显示，如果要出现相应数值，则还需要进行系统设置，其方式是按lp键进行系统设置，在弹出窗口中按nb键找到“coord”选项，按q开启指针位置处的坐标显示上述操作过程固然可以帮助学生正确理解sn的最大值及取最大值时n的相应值，但数列的项an与和sn的对应关系却很难呈现方案二：图象比较中认识求和操作步骤如下：输入图9所示两数列的通项公式，其中bn=n2+n（实为数列an的前n项和）；按u选择table功能得到图10所示的表格，通过表格可以对比发现bn最大当且仅当an为最小的正数时；按u选择g-plt功能得到图11所示两数列的图象，按lq实现指针跟踪显示，按nb键可以即时显示an，bn中对应点我们也
8、可输入图12所示的递推公式来替代步骤中的操作，其中an+1=an-3，bn+1=bn+an-3，相应数列的初值设为a0=25，b0=0，可以一样得出图11所得的结论3. 数形结合中研究性质数列是函数的离散化，因此需要与函数类比，研究数列的单调性、最大值与最小值、周期性等，但需高度重视其中可能产生的负迁移，因数列的特殊离散性，需要创设情境让学生有足够的体验和活动如对于问题“探讨数列an=3n+1n的单调性，并结合单调性求an中的最大项”，我们固然可以做相应的代数推演an+1an=3n+4n+13n+1n=n=n，从而得出结论：n5时an递增，n5时an递减 但对于为什么用后一项减前一项来说明数列
9、的单调性，结论为什么就说明a5为最大项却不甚明晰；如果让他们有机会看到图13所示的数列图象，相信必然会“不著一字，尽得风流”又对于“在平面直角坐标系中，直线y=-2x+5上有一系列点：p0（1，3），p1（x1，y1），p2（x2，y2），pn（xn，yn），已知数列是首项为，公差为1的等差数列，是否存在一个半径最小的圆c，使得对一切nn*，点pn（xn，yn）均在此圆的内部（包括圆周）？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由”这样的复杂问题，不难得出xn=1+，yn=3，但问题在于点pn（xn，yn）的分布规律学生难以想象从而很难把握解题方向，最终只能望题兴叹，但如果借助fx-9750
10、g提供的绘制相图功能，自然可以“轻舟已过万重山” 具体操作步骤如下：输入两数列通项公式，并生成表格；按e键选择phas功能得到图14所示pn（xn，yn）的散点图，可以发现当n时，pn（xn，yn）从p1（x1，y1）向p0（1，3）聚合，也就是说存在一以p0p1为直径的圆将所有点pn（xn，yn）均包含在内 fx-9750g还可以绘制web图形验证数列的收敛或发散图形计算器在数列教学中的应用启示1. 图形计算器于数列有多元表征优势如前所述，图形计算器能为学生提供“多元联系表征”的学习环境，帮助学生直观感受递推和叠加思想，在符号语言与表格、图象（如图13、14）间形成一有效的理解通道，从而对我
11、们真实理解数学产生着重要影响 事实上从数学学习心理的角度看，不同的数学思维形式、它们之间的转换及表达方式是数学学习的核心，用多种表达形式表示数学对象，从而透过现象把握数学本质，已然成为数学课程改革中需要关注的重点话题，因此发挥图形计算器的功能，应是数列教学改革的一个重要方向，因为“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见、摸得着”2 图形计算器为学生“做数学”提供有效载体与其他教学软件相区别的是，图形计算器与数学整合可以不囿于教师演示的局限，能真正交到学生手中 事实上通过以上案例我们可以发现，无论什么数列我们只要输入相应的递推公式或通项公式，便可以在手持技术的支持下，自主地在“问题空间”
12、里进行探索和做“数学实验”，在此过程中学生以研究者的身份进行学习，由“听数学”转为“做数学”，由过去被动接受转为主动参与，由以前做书本中的习题变为自己设计问题，由被动地学习变为主动地发现探索式学习 笔者认为，发挥图形计算器的价值和作用，可以让数学的学习与研究在技术的支撑下插上想象的翅膀，因为图形计算器无疑是真正能交到学生手中、易于学生进行数学“再创造”的信息技术工具，因为教育技术只有交到学生手中才能发挥它的最大作用3. 图形计算器走近学生需要教师挖掘课题资源将图形计算器交到学生手中，使他们有机会真实感受“数学是自然的，数学是清楚的，数学是水到渠成的”，固然需要我们研究技术本身，挖掘技术潜力，需要重视图形技术器与其他技术的优势比较，适时、适度地选用适当类型的信息技术，使学生“看他们以往只能想象的数学，做他们以往不能做的数学”；更为重要的是需要教师下力气提炼教学内容，化学术形态为教育形态，创设利于学生“再创造”的实验情境，正如弗莱登塔尔所认为的那样，”数学教育是一个活动过程，在整个活动过程中学生应该处于一个积极、创造的状态 学生首先要参与这个活动，感觉到创造的需要，他才有可能进行再创造，而教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力”
