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1、结构有限元素法 绪 言1、有限元素法的广泛应用有限元方法是现代发展起来的重要数值计算方法，约经历了30多年的发展历程，已广泛应用于各类工程技术问题的计算分析与性能评估，现成为了现代工程设计分析的必需计算工具与软件，主要应用领域有：l 固体结构的静态弹性或弹塑性的内力分布及形变刚度分析，除常规工程静力学问题外，还如：裂纹尖端区域的应力场强计算、结构的初始临界失稳载荷以及后屈曲、大变形行为分析计算等；l 固体结构的动力学响应及固有品质分析，如：结构受到撞击的动力学响应分析、结构的模态（频率、振型）分析计算等；l 流体中的定常/非定常绕流、射流场计算分析；l 复杂外形及材质的电磁散射场及RCS数值计
2、算分析；l 土壤结构、隧道渗流、地震响应等数值计算分析；l 飞行器结构工程、桥梁工程、拦河坝工程等设计领域中广泛应用；l 作为优化设计、可靠性分析、损伤容限设计等结构设计的内核计算工具；l 作为新材料力学性能设计的内核分析工具。2、有限元方法基础i) 有限元方法是求解数学物理方程（偏微分方程）系统的数值逼近方法。Examples:a. 三维空间弹性方程系统平衡方程：Gn 式中， 张量求和记法：几何方程：物理方程：边界条件：(工程中常见混合边值条件)GeDirichlet: 基本边界条件：Neumann: 自然边界条件：b. 任意截面的扭转问题二维Poisson方程： 式中， （Laplace算
3、子）基本边界条件：, , 自然边界条件：, ii) 有限元方法的分析原理及过程A）将一个偏微分方程系统求解转换为一个泛函的变分问题。即求解泛函的驻值问题等价于求解其相应的微分方程系统。（数学前提，并不是有限元本身）Example: (弹性体系统势能泛函) （Poisson方程的泛函）（泛函取驻值（极小值）的条件，一阶变分为0）可获得原物理问题的微分方程描述。B) 有限元方法是用有限维子空间上的近似函数逼近无限维真实函数（数学插值逼近），直接求解泛函驻值的方法；是一个泛函极小化序列的逼近过程。 过程思路：（追溯到Ritz，1908） 构造近似场函数 满足将Un代入相应的泛函表达式，展开得函数表达
4、式 求 dJ=0的解，获得CK 的线性代数方程组。C) 计算大型稀疏代数方程组（计算机技术的贡献）。小结：基础知识： 变分原理（固体力学中的能量泛函变分原理）、变分的数值计算（数值积分）函数逼近理论（分片插值）D) 有限元方法的分类：位移法、力法、杂交法。3、有限元技术的发展i) 有限元方法本身的完善 ii) 数学理论基础的完善：有限元空间的性质，逼近性，弱闭性，嵌入性，紧致性 iii) 工程技术应用方面的完善： 程序设计技术理论的完善（存贮技术、超单元、方程解） 前后置处理技术（有限元的CAD技术，数值图形处理技术） 数据压缩技术 程序生成系统 面向对象的开发系统4、本课程内容安排及要求 i
5、) 变分法（数学方法） 8 hours ii) 能量泛函变分原理 8 hours iii) 函数分片逼近理论 6 hours iv) 单元设计（形状函数设计及逼近理论）及刚阵计算 12 hours v)大型方程组数值计算及其结构工程应用 6 hours i) 参考数目： 胡海昌：弹性力学变分原理及其应用，科学出版社，1982监凯维奇，有限元素法，科学出版社张鸿庆，有限元素方法的数学原理，科学出版社，1990样条函数及其插值原理诸德超，结构分析中的有限元素法，国防工业出版社，1981 ii) 强调自觉学习，作业自觉完成。 iii) 与“结构有限元程序设计”协调（工程结构分析，程序设计） iv) 开卷考试 v) 上课时间安排 6小时/周
