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1、SARS的传播模型摘要传染病、战争、饥荒是影响世界人口的三大因素，其中尤其以传染病对人口的影响最为大。对于问题1，本文结合附件一所给的模型，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点在于形式简单，模拟的精确度较高，K值的改变体现出了其合理性，同时指出了它的主要缺点在于过分依赖数据和不具有长远的预测性。对于问题2，我们以2003年6月以前的有关数据为资料，根据对SARS传播的分析，在传统的SIR传染病模型的基础上对人群作了合理的分类：健康者、患病者和移出者。其中，移出者指死亡及治愈组成的免疫类。考虑到3类人群均是关于时间的变量且患病者的数量和采取的控制手段密切相关，建立了控制前传
2、播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了病人的自由传播源平均每天造成的感染率和该病平均每天的治愈率，病人平均每天的死亡率，疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例，疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例，可控系数五个参数。关键词：SARS；微分方程；SIR模型一、问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律
3、、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要
4、性。二、模型的假设和符号说明模型假设1. 人群分为健康者、患病者和移出者三类，称SIR模型。2. 假设SARS的传播方式为接触性传播，不与患病者接触就不会被感染。3. 假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人。4. SARS治愈恢复的人和得病死亡的人退出传染体系。5. 所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出，自然出生和自然死亡等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即。6. SARS患者康复后具有免疫能力，治愈后没有被感染的可能。符号说明自由传播源平均每天造成的感染率该病平均每天的治愈率第天传染系统内的总人口数第天健康者人
5、数第天患病者人数第天移出者人数患者平均每天的死亡率过了潜伏期，表现出症状，但还未隔离的患者数。第天疑似病例的人数第天确诊病人的人数疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例被自由传染源有效感染的人中的可控系数控制起始时间三、问题分析对于问题二的分析。1、对于接触率的理解 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设第天的单位时间内，一个病人能传染的健康者数目与此环境内健康者总数成正比，比例系数为，从而在第天的单位时间内被所有病人传染的人数为。2、对于治愈率的理解 第天的单位时间内，从患病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为，单位时间内移
6、出者的数量为。四、模型建立与求解模型的建立（一）对于问题一的模型的建立。附件 1 给出的模型为。作变换，令，因为不同阶段的值是不一样的，所以对于不同的阶段，的值也是不同的。故XXX老师所给出的模型可改写成，其中，在不同阶段的值是不一样的。即在假设病例人数是时间的连续函数时，有。 1）合理性附件 1所给出的模型为： 。它是基于现实中的自然状态，描述出了 SARS传染病最核心最本质的变化趋势。的取值采用半模拟循环计算方法，发展趋势由值的变化体现。该模型的优点在于简单，易行，方便对数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明了该模型所具有的合理性。 2）实用性任何具有传染性的疾病大致
7、都是会经历“发展(快速蔓延)期一相对稳定期一逐渐消亡期”这样的一个过程，附件一模型准确地体现出了这点，因此它具有普遍实用性。3)模型的缺陷，此模型最大的缺陷即是把实际问题过于简单化了。 (1)模型中的的取值只能根据已经有的数据拟合，因此模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。实际中，统计所给的数据本身就有一定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。我们以“北京日志”的数据进行验证，见下图图 1 北京实际与预测感染者人数直观的看出，模型只能给出接近的前期发展趋势，后期拟合与实际曲线有相当误差。(2)模型本身不具有预测性，它的值是由数据拟合决定的。如果背离题目本意，我们让
8、按照某种规律变化，预测发展趋势，其产生的误差是很大的。(3)随着时间的推移，社会中存在各种控制的综合作用，用一个单纯笼统的的变化已很难刻画出复杂因素的影响，因为各种因素对 SARS的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能促进流行，致使模型的一致性在后期变差，误差越来越大。因此，至少应设为某种函数形式，引入一些参量因子进行考虑。(4)此模型单单刻画出了传染病的一般性，那么SARS和其它的传染病也就没什么本质上的区别了，缺乏对其SARS的特征进行具体深入分析。（二）对于问题二的模型的建立。模型 由假设1显然有对于患病者而言应有 （4.2.1）对于病愈免疫和死亡的移出者而言应有 （4.2.2）在
9、记初始时刻的健康者和病人的总数分别是和（不妨设移出者的初始值），则由（2.1），（2.2）式，SIR模型的方程可以写作 （4.2.3） 但是上述模型没有考虑到隔离人数，已被传染但未被隔离和死亡人数对模型的影响，因此，对模型进行改进,得到下面的模型。模型 基于微分方程描述变化，并结合差分方程迭代的思想，把整个社会看成一个系统，重点考虑研究对象是否已退出系统。对于处于系统中的各种参量间的关系体现与模型中。据资料，SARS潜伏期的患者不具有传染性，则：，模型为：模型的求解对于问题二的模型的求解。模型 由假设1显然有对于患病者而言应有 （4.2.1）对于病愈免疫和死亡的移出者而言应有 （4.2.2）在
10、记初始时刻的健康者和病人的总数分别是和（不妨设移出者的初始值），则由（2.1），（2.2）式，SIR模型的方程可以写作 （4.2.3） 但是上述模型没有考虑到隔离人数，已被传染但未被隔离和死亡人数对模型的影响，因此，对模型进行改进,得到下面的模型。模型 基于微分方程描述变化，并结合差分方程迭代的思想，把整个社会看成一个系统，重点考虑研究对象是否已退出系统。对于处于系统中的各种参量间的关系体现与模型中。据资料，SARS潜伏期的患者不具有传染性，则：，模型为：在模型中，参数的确定：=(每天新增的疑似排除人数)；=(每天新增的疑似转为确诊的人数)=(当天治愈人数)；=(当天病人死亡数)对题中的数据去
11、除偏离较大的点，进行多项式拟合，得及（程序见附录2）,并通过前12天的实际数据，直接运用MATLAB中的计算，得到此时的，。原数据和拟合数据对比图见下图图 2 原数据和拟合数据对比图通过上图可以发现，该模型对原数据的拟合效果很好，因此可以用来预测患病人数的趋势。五、模型稳定性分析 在原来稳定的系统下，我们认为的改变某一常量，如改变该传染系统中的患病者的数值，经过若干天后，仍会趋于一个稳定的平衡。基于上面的理论分析，将在原始数据的基础上，设变化范围为-20,20，即跨度为40。改变的值，具体数值见附录4。在第二题的础上，运用MATLAB计算得到此时的拟合数据与原始数据的图像为图 3 拟合数据与原
12、始数据图通过观察上图，可认为该模型的稳定性很强。六、模型的评价模型的优点1、 考虑的因素较为全面，更能体现疫情发展的本来面貌；并且只要给定初始值就可进行长期预测，不需要大量的数据支持。2、计算出的被自由传染源有效感染的人中的可控系数的值为0.9384，说明了政府对传染病的控制效果很明显。模型的不足模型对疫情发展的预测不是很准确。本论文的模型因查到的统计数据不完善、对非典的传播规律了解不够，预测结果有较大偏差。相信随着人们对SARS的进一步认识，随着社会各界的深入研究，从数学角度看，模型将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度看，SARS将有更好的治疗方案和防控措施，疫期将进步缩短。参考文献1
13、姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京.高等教育出版社.2003年8月2 马莉.MATLAB数学实验与建模M.北京.清华大学出版社.2010年1月3 肖红江、吴彤、李名科.SARS传播的研究J.工程数学学报.2003年12月.第20卷第7期4 北京统计局.北京50年M.北京.中国统计出版社.1999附录附录 1x=dlmread(data.txt);k=1:65;plot(k,x(k,1),r);hold onk=1:30;plot(k,399.*(1+0.13913).k,o);k=31:65;plot(k,399.*(1+0.042).k.,o);附录 2x=dlmread(rt.txt)
14、;y=dlmread(cpt.txt);f=inline(a.*y,a,y);z,r=lsqcurvefit(f,0.2,y,x);x=dlmread(rt.txt);x1=dlmread(rt1.txt); % y=dlmread(cpt.txt);z=dlmread(dpt1.txt);y1=dlmread(chongzushuju.txt);y2=dlmread(cpt2.txt);%k=0:14;f=inline(b.*z,b,z);m,r=lsqcurvefit(f,0.2,z,y1);function y=li4_16fun(beta,x)b1=beta(1);b2=beta(2);x1=x(:,1);x2=x(:,2);y=(b1.*x1-b2.*x2);endx=dlmread(dptstmt.txt);y=dlmread(dstdt.txt);beta0=1,100;b
