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1、第12章 数的开方12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：0。三、平方根和算术平方根是记号：平方根（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）即：“”表示a的平方
2、根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根，被开方数a必须为非负数，即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。六、开立方：求一
3、个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项：1、“”、“”、“”的实质意义：“”问：哪个数的平方是a；“”问：哪个非负数的平方是a；“”问：哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如：若有意义，则x取值范围是 。（x-30，x3）（填：x3） 若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数）3、。如：，4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！）5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如：确定的取值范围。，23。6、几个常
4、见的算数平方根的值：，。八、补充的二次根式的部分内容1、二次根式的定义：形如（a0）的式子，叫做二次根式。2、二次根式的性质：(1)（a0，b0）；(2) （a0，b0）；(3) （a0）； (4) 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a0，b0）；（2）除法：（a0，b0）。12.2实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：（1）开方开不尽的数。如：，等。（2）“”类的数。如：，等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001，-0.234242242224，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数
5、a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。（2）倒 数：非零实数a的倒数为（a0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a的绝对值为：3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：5、几个“非负数”：（1）a20； （2）|a|0； （3）0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第13章 整式的乘除13.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：amanap=am+n+p+（m、n、p均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a可以是实数
6、，也可以是代数式等。如：234=2+3+4=9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；()3()4=()3+4=()7；(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则：(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：(am)nps=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=23=6；()34=()34=()12；(a-b)24= (a-b)24=(a-b
7、)8（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=222=42；()2=()2()2=23=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：233
8、3= (23)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：aman=am-n（m、n均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：43=4-3=；(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；()6()4=()6-4=()2=2；(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意a0这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = aman；如：a x-y= axay，(x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)313
9、.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)(-4 b2c)(-ab)=(-5)(-4)(-)(a2a)(b2b2)c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(-3x2)(-x2)+(-3x2)2 x一(-3x2)1=三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式
10、看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb13.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自
11、相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的来源还是“多项式多项式”。二、完全平方公式1、公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)2=()2+23+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc
12、+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。13.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c3ab=(-213)a2-1b3-1c =-7ab2c（2x2y）3（-7xy2）14x4y3 =8x6y3（-7xy2）14x4y3=8（-7）x6+1y3+214x4y3 =（-5614）x7-4y5-3=-4x3y25（2a+b）4（2a+b）2=（51）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=2
13、0a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。13.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二
14、、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92 =(10+9)(10-9)=191=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（
