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1、1. 设有三维向量 , , , 问k取何值时i. b可由a1, a2, a3线性表示, 且表达式唯一; ii. b可由a1, a2, a3线性表示, 但表达式不唯一;iii. b不能由a1, a2, a3线性表示.解. i. 时, a1, a2, a3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以b可由a1, a2, a3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以b可由a1, a2, a3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当 时 .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以b不能由a1, a2, a3线性表示.2. 设
2、向量组a1, a2, a3线性相关, 向量组a2, a3, a4线性无关, 问i. a1能否由a2, a3线性表出? 证明你的结论;ii. a4能否由a1, a2, a3线性表出? 证明你的结论解. i. a1不一定能由a2, a3线性表出. 反例: , , . 向量组a1, a2, a3线性相关, 但a1不能由a2, a3线性表出;ii. a4不一定能由a1, a2, a3线性表出. 反例: , , , . a1, a2, a3线性相关, a2, a3, a4线性无关, a4不能由a1, a2, a3线性表出.3. 已知m个向量a1, a2, am线性相关, 但其中任意m1个都线性无关, 证
3、明:i. 如果存在等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0则这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0 l1a1 + l2a2 + + lmam = 0其中l1 0, 则 .解. i. 假设k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 如果某个ki = 0. 则 k1a1 + ki1ai1 + ki+1ai+1 + kmam = 0因为任意m1个都线性无关, 所以k1, k2, ki1, ki+1, , km都等于0, 即这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 因
4、为l1 0, 所以l1, l2, lm全不为零. 所以 .代入第一式得: 即 所以 , , 即 4. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.解. 假设 得 因为 a1, a2, a3线性无关, 得方程组 当行列式 时, 有非零解. 所以 时, aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组Akx = 0有解向量a, 且Ak1a 0, 证明: 向量组a, Aa, , Ak1a是线性无关的.解. 假设 . 二边乘以 得 , 由 . 二边乘以 得 , 最后可得 ,
5、 所以向量组a, Aa, , Ak1a是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii. 解. 解. i. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , 所以 ii. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , , 所以 由 得方程组 解得 , , 所以 7. 已知三阶矩阵 , 讨论秩(A)的情形.解. i. , ii. , iii. , iv. , iv. 所以, 当 时, ; 当 时, 8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A E, 试证明: (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 0解. 由第十一题知 又因为 A E, 所以 , 所以 , 中有一个为1所以 (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则AE的秩为nr, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为 A2 = A, 所以 所以 所以 又因为 所以 . 所以
