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1、专题 10 双曲线中的向量问题一、单选题1过双曲线2-兰二l(a 0,b 0)的右焦点F作倾斜角为60。的直线交双曲线右支于A , Ba 2 b 2两点，若AF二5FB，则双曲线的离心率为()6l4A.B.甲3C. 2D. 一53【解析】过右焦点F的直线的倾斜角60。，不妨设直线方程为：x 仝 y + c 3?工口X 联立万程Ib 2 x2 一 a 2 y 2 = a 2b 2(1)273得 一 b 2 一 a 2 y 2 +b 2 cy + b 4 = 013y 3丿F(C，0 )，因为 AF - 5 FB，所以 yi =-5 y2yi y2 =-5 y22-b 2 c3Eb 2 - a 2
2、3b 4y +y = -4 y1 2 2所以込b 2 Cb 2 一 a 216 y 22所以4b4c2b 4二 Kb 2 a 23164c 2所以 =-，所以 12a2 -4b2 = 5c2，因为a2 + b2 = c25 b2 3a2所以 12a2 4(c2 a2)= 5c2，所以 16a2 = 9c2，所以冬二16，所以 二 4 .故选：D a 29a 32.已知双曲线C:兰艺二1(a 0,b0)的左右焦点分别为F , F2,过F的直线交双曲线Ca2 b21 2 1的左支于P, Q两点，若PF 2 = PF- QF，且的周长为12a，则双曲线C的离心率为2 2 2 2()A.巫2【解析】由
3、双曲线定义知|PF| |PFj = iQ.I-lQFj = 2a 则 |PF| = |PF | 2a , |QF| = |QF | 2a，所以|PQ| = |pf| + |QF| = |PF |+ |QF I 4a12121122 PQF2的周长为 |PF | + |QF|+ |PQ| = 2(|PF|+ |QF |) 4a = 12a A |PF | + |QF| = 8a , |PQ| = 4aQF)= 0 n PF - PQ 二 0 n PF 丄 PQ22所以ZF2PQ = 90。，故|PF I2 + 16a2 = |QF |2|0目-目=2a由 PF 2 二 PF -QF n PF -
4、2 2 2 2 QF22=3a=5a , A |PF | = a在 RtAPFF 中,a2 +（3a）2 =（2c）2，故e = =山.故选:a2过F的直线l与C的左、右两支曲线3.件、竹分别为双曲线C:x2 -勺=1的左、右焦点,A. 4 【解析】在双曲线C中，a = 1，b因为直线l过点F,由图可知，直线l的斜率存在且不为零,T丄F2B，则严2为直角三角形,BF P + |BF P 112 - 2 |bf |bf1 21卜竺I = 4，联立；2,解得13竹|=店-11 2分别交于A、B两点，若l丄FB,则FA FB =（ 2C. 6 - 2.5c 二忌，则 F Cy3,0 ）F C3,0
5、）12 + |BF I2 = |FF I2 = 121 2 1 2；|-|BFJ = 2，所以,因此，Fa-FB =（FB+BA）F5二F52+Ba-FB二 C 5 -1） =6 252 2 2 2 2 24已知0为坐标原点双曲线C : x2 -号=1的右焦点为F，直线过点F且与C的右支交于M , N两点，若OM + ON二2OA，OA OF = 8，则直线l的斜率k为()Ax0A -0F = 2 x0 = 8 x0 - 4 IM，N分别是双曲线右支上的点x 2 -斗=1,1 33 两式相减 x 2 -写=1,23【解析】设M(x,y ), N(x,y ), A(x ,y )，由题可知F(2,
6、0), a是MN线段的中点,并整理得（x + x ）（x - x ）_lyi + y2）（匸 y2）二 0 , 2x -2yk = 0，即 4 以=01 2 1 2 3 0 3 3又k = kAF = T2 = y0二 26.k 二 z6 .故选：b05已知抛物线y =丄x2与双曲线兰-x2二1（a 0）有共同的焦点F , O为坐标原点，P在x16a 2轴上方且在双曲线上，则op - FP的最小值为（）A. 4、!5-16B 16-415C. 15 -D.-15【解析】由抛物线方程知：F（0,4）,a2 +1 = 16，解得：a2 = 15设 P（x, y）, OP = （x, y ）, FP
7、 = （x, y -4）, . OP FP =x 2 + y 2 一 4 y在兀轴上方且在双曲线上， x2 = 15-1且y 厉 OP FP = 16 y 2 - 4y - 1 = 16 f y 15 2 191616154，当y = b 0）a 2 b 2F（-2,0 ）,F C2,0 ），由双曲线定义可知：IPFj-pq = 2，又因为PF PF = 0，所以PF 丄 PF12|ff | = 2c = 2込，所以|pf|2 + （pf I-2=|ff |2 = 8，所以1 2 1 1 1 2|pf|3 +1, |pf|;3 -1所以2a = |PFj + |PFj = 2v3，所以a八R，
8、所以b ra2 -c2 = 1，所以椭圆方程为于+ y2 = 1又因为l : y = x-逅，所以/2 .故选：C.a二、多选题9已知双曲线亍-y2 =1，A(3，0)，O为坐标原点，m为双曲线上任意一点则OM.而的值可以是( )A145B-2C.-启D145【解析】设点M (x, y)，则x W -2或x 2，且有竺-y2二1，可得y2二兰-144AM = (x-3,y)，OM =(x,y)，AM-OM 二x(x-3)+ y2 二x2 -3x + 兰-1 二5x2-3x-144令 f (x)二 5x2 -3x-1，其中 x W -2 或x 24_ 3 _ 6二次函数f (x)的图象开口向上，
9、对称轴为直线x_二5 _ 5 . 当x W -2时，函数f (x)单调递减，此时f (x) f (-2)_ 10 当x 2时，函数f (x)单调递增，此时f (x) f(2)_-2. 综上所述，函数f (x )在(-2U2, +小上的值域为-2, +8).、 14 因此，OM - AM的值可以是-2、- 3 .故选：BCD.10已知双曲线C:-止_ 1(a0,b0)且a2,b2,c2成等差数列,过双曲线的右焦点F (c, 0) a 2 b2的直线l与双曲线C的右支相交于A,两点，AF _ 3FB，则直线l的斜率的可能取值为()A. “11B211C. J3D.【解析】因为a2,b2,c2成等差数列，所以a2 + c2 _ 2b2 _ 2(c2 -a2),所以c _ 73a4c2 + m2 - (2a + m)2222c2m从而解得cos0_-，故tan0_川设左焦点为 F, FB _ m，则 AF _ 3m, FB _ 2a + m, FA _ 2a + 3m令0 _ZFFA则 o_ 4c 2 + 9m 2 -(2a + 3m)222 2c23m2c 2 -2a 2 -3am _0，将c _3a 代入解得m _ 3a而0是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为一或 d故选：AB.11 已知椭圆M：2 +兰_ 1(ab
