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1、绝密启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚5.如需作图，须用2B
2、铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差，其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1 若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为 2 已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|=，则向量a和向量b的数量积ab= 3 函数f (x)=x315x233x+6的单调减区间为 11Oxy第4题图4 函数y=Asin(x+)（A，为常数，A0，0）在闭区间,0上的图象如图所示，则= 5 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别
3、为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 6 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为 开始S0T1ST2STT+2S10输出W结束NYWS+T第7题图7 右图是一个算法的流程图，最后输出的W= 8 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 9 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x
4、310x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 10 已知，函数f(x)=ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为 11 已知集合A=x|log2x2，B=(,a)，若AB，则实数a的取值范围是(c,+)，其中c= 12 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）xyA1B2
5、A2OTMFB1第13题图13 如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 14 设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bn=an+1（n=1，2，）若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q= 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15 （本小题满分14分）设向量a=(4cos,sin)，b=(sin,4cos)，c=(cos,sin)，（1）若a与b2c垂直，求ta
6、n(+)的值；（2）求的最大值；（3）若tantan=16，求证：ab16 （本小题满分14分）ABCA1B1C1EFD第16题图如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C求证：（1）EF平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C17 （本小题满分14分）设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足，S7=7（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得为数列Sn中的项18 （本小题满分16分）11Oxy4第18题图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1(x+3)2+(y1)2=4和圆C2(x4)2
7、+(y5)2=4（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标19 （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙
8、生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为（1）求和关于mA，mB的表达式；当时，求证：=；（2）设，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由20 （本小题满分16分）设a为实数，函数f (x)=2x2+(xa)|xa|（1）若f (0)1，求a的取值范围；（2）求f (x)的最小值；（3）设函数h(x)=f (x)，x(a,+)，直
9、接写出（不需给出演算步骤）不等式h(x)1的解集2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为 【答案】20【解析】z1z2=2+20i，故(z1z2)i=202i【说明】考查复数的四则运算2已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|=，则向量a和向量b的数量积ab= 【答案】3【解析】【说明】考查向量的数量积（代数）运算3函数f (x)=x315x233x+6的单调减区间为 【答案】【解析】，由得单调减区
10、间为【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用411Oxy第4题图函数y=Asin(x+)（A，为常数，A0，0）在闭区间,0上的图象如图所示，则= 【答案】3【解析】如图，所以【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念5现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2【说明】考查古典概型6某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10
11、次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为 【答案】【解析】第一组数据，；第二组数据，【说明】考查总体特征数的估计实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）7开始S0T1ST2STT+2S10输出W结束NYWS+T第7题图右图是一个算法的流程图，最后输出的W= 【答案】22【解析】追踪表：S1817S10？NNYT35故出循环时，S=17，T=5，故W=22【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流
12、程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高8在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 【答案】1：8【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方【说明】本题考查合情推理之类比推理9在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x310x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 【答案】【解析】设点P的横坐标为x0，由知，又点P在第二象限，所以【说明】本题考查导数的几何意义曲线切线的斜率10已知，函数f(x)=ax，若实数m，n满足
13、f(m)f(n)，则m，n的大小关系为 【答案】【解析】由知，函数是减函数，由知【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念11已知集合A=x|log2x2，B=(,a)，若AB，则实数a的取值范围是(c,+)，其中c= 【答案】4【解析】由log2x2得0x4，；由知，所以4【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念12设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一
