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1、假设：1.信息具有足够的吸引力，所有人都感兴趣， 并传播。2.人们对信息在一定时间内会失去兴趣。传染病问题中的SIR模型摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期 以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探 索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析 各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。在这里我采用SIR(Susceptibles，Infecti
2、ves，Recovered)模型来研究 如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病 发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控 制疾病提供最优决策依据，维护人类健康与社会经济发展。关键字：传染病；动力学；SIR模型。一、模型假设1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因 素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数 N。人群分为以下三类：易感染者 (Susceptibles)，其数量比例记为
3、s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数 占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为 病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)， 表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非己感染者，也非感染病者，不具有 传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。2. 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数入，日治愈率(每 天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数U，显然平均传染期为1/U，传染期接触 数为。=入/口。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程
4、度差距，这是因为模型中假设 有效接触率传染力是不变的。二、模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设1中显然有:s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为(1)dd(2)不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s ( s 0), i ( i 0), 0000%=0.SIR基础模型用微分方程组表示如下:di一=人si - UIdtds人 sidtdr .Uidt(3)s(t)，i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t)，i(t)的一般变化规 律。三、数值计算在方程(3)中设入=1，u=0.3，i
5、(0) = 0.02，s (0) =0.98，用 MATLAB 软件编程:function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，is图形称为相轨线
6、，初 值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点，随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、 图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少,t一8,i0,s(t)则单调减 少,t一8,s0.0398.并分析i(t),s(t)的一般变化规律.s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.0
7、4340.04080.04010.03990.03990.0398表1 i(t),s(t)的数值计算结果四、相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i(t) ,s (t)的性质。is平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s, i)eD为D = (s, i) I sN0, iN0 , s + i W1(4)在方程(3)中消去dt并注意到。的定义，可得d ( 1、d =打tJ，汀。广0s所以:n J，d =js 1)dso so )(6)利用积分特性容易求出方程(5)的解为：i = (S0 + %) - s = -lln -(7)0在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线
8、，如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的 增加s(t)和i(t)的变化趋向.(8)下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t一 8时它们的极限值分别记作 s , i 和 r )。1.不论初始条件s0,i0如何，病人消失将消失，即：i； = 0其证明如下:首先，由(3) d 0故s存在；由(2)也 0而r(t) 0则由(1)，对于充分大的t有攵 ,这将导致r =oo,与r存在相8d 2COCO矛盾.从图形上看，不论相轨线从P1或从P2点出发，它终将与s轴相交(t充分大).2.最终未被感染的健康者的比例是s，在式中令i=0得到，s是方程(9)在(0，1/。)内的
9、根.在图形上s是相轨线与s轴在(0，1/。)内交点的横坐标._ d ( 13.若s1/。，则开始有* =打-o，s.d ( 1 一，1 ,i(t)先增加，令丁 = -1 =0,可得当s=1/d (s。)s。时,i(t)达到最大值:(10)然后 s1/。时，有 d = 1 o d ，s。)si s + i (1 + ln b s )，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s”，如图3中由P1(s0, %)出发的轨线. d ( 1、，、一一 _、，、一一，一 ,4.若s0 1/。,则恒有孑I s_ 1I1/。(即。1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数。，即提高阈值1/。使 得s
10、1/o(即。1/。,从(19),(20)式可以看出，。减小时，s”增加(通过作图分析),七降低, 也控制了蔓延的程度.我们注意到在。=入口中,人们的卫生水平越高，日接触率入越小;医疗 水平越高，日治愈率U越大，于是。越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的 蔓延.从另一方面看，bs-人s 1/日是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数, 其含义是一病人被b s个健康者交换.所以当s0 1/b即b s0 1时必有.既然交换数不超 过1,病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。五、群体免疫和预防根据对SIR模型的分析，当s0 1/b时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高
11、卫 生和医疗水平，使阈值1/。变大以外，另一个途径是降低s0 ,这可以通过比如预防接种使群 体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值i有s 1 r，于是传染病不会蔓延的条件s 1/b可以表为 0000(11)这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（ll）式，就 可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。 据估计当时印度等国天花传染病的接触数。=5,由（11）式至少要有80%的人接受免疫才 行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r，也因很难做到免疫者的均匀分布， 使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传
12、染病的。更高，根除就更加困难。六、模型验证上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，据对SIR模型作了验证。即有了%的实际数据，Kermack等人用这组数 dtdb S r dtJs 标=or d所以:s(t) s e-6(t)(12)首先，由方程（2），（3）可以得到ds = 一人si = Jsi上式两边同时乘以d可n Ld =f d ，两边积分得n ln s |s b r n e -bs0s0(13)pi 日(1 r 一 s)日(1 r 一 s ebr)o当r 1/b时，取（13）式右端e-b Taylor展开式的前3项
13、得:ds b2r2、d = P (1 r s +b s r )t1r (t)s b 2,-、，,apt、(s b 1)+ath(一 平)02(14)在初始值r=0下解高阶常微分方程得:其中a2 = (s。-1)2 + 25 i a2, th =蓼-从而容易由(14)式得出: 00 0a(15)a 2日-,at -2s a2ch2( 中)02然后取定参数s0,。等，画出(15)式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用 圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。七、被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0与s”之差，记作x,即x = s - s(16)当i0很小，s0接近于1时，由(9)式可得x + -ln(1-)俐 0(17)a s0取对数函数Taylor展开的前两项有(18)x(1-)牝 0s a2 s 2a记 = !+5 ,
