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1、初中数学最短途径问题的讨论以及解决方略最短途径问题中,核心在于,我们善于作定点有关动点所在直线的对称点,或运用平移和展开图来解决。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论根据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点有关线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。解题总思路：找点有关线的对称点实现“折”转“直”，运用平移把“折”转“直”,运用平面展开图把“折”转“直”。一、 运用轴对称解决距离最短问题运用对称的性质,通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。 基本思路是运用轴对称及两点之间线段
2、最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题,不管题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相似.注意:运用轴对称解决最值问题应注意题目规定，根据轴对称的性质、运用三角形的三边关系,通过比较来阐明最值问题是常用的一种措施解决此类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形而忽视题意规定，审题不清导致答非所问1、两点在一条直线异侧例：已知:如图,A，B在直线L的两侧,在上求一点,使得PB最小。解：连接AB，线段A与直线的交点 ,就是所求。（根据:两点之间线段最短.）2、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一种奶站,向居民
3、区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才干使从A、B到它的距离之和最短 解:只有A、C、B在始终线上时，才干使AC+最小作点A有关直线“街道”的对称点A,然后连接AB，交“街道”于点，则点就是所求的点 应用1、（达州)在边长为的正方形CD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线A上一动点，连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为_(成果不取近似值).ADEPBC2、(抚顺市）如图所示，正方形的面积为12,是等边三角形，点在正方形内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为（ ) A. B D.3、(鄂州)已知直角梯形ACD中,ABC,ABBC,A=2，BC=D=5,点P在C上移动，则当PP取最小
4、值时,APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角N内部任意一点，在MN的两边M,ON上各取一点B,C，构成三角形,使三角形周长最小.解：分别作点有关OM,ON的对称点A，A;连接A，A，分别交M，ON于点B、点，则点B、点即为所求分析:当B、C和AC三条边的长度正好可以体目前一条直线上时，三角形的周长最小4、 两个点在矩形内部例:已知矩形CD内有两个点、N,过M击球到C边P，然后击到BC边,然后到，则小球所走的最短路线？二、运用平移拟定最短途径选址通过平移,除去固定部分的长，使其他几段的和正好为两定点之间的距离。选址问题的核心是把各条线段
5、转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理阐明,一般根据最大值或最小值的状况取其中一种点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短途径问题时,可以通过平移河岸的措施使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短途径问题时,我们一般运用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短途径的措施来解决问题. ABMNE例:如图，A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥M，桥造在何
6、处才干使从A到的途径AB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直）解：1.将点沿垂直与河岸的方向平移一种河宽到E， .连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,M为所建的桥。证明：由平移的性质，得 BNE且BN=M, MNCD， BDC,B=CE,因此AB两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=+M,若桥的位置建在CD处，连接AC.C.DB.CE，则AB两地的距离为：A+CD+DB=C+CDCE=AC+CE+M,在ACE中,A+C，AC+ME+MN，即ACCD+DBAMN+BN因此桥的位置建在C处,AB两地的路程最短。CDABEa例：如图，A、B是两个蓄水池,都在河流的同侧,为
7、了以便灌溉作物,要在河边建一种抽水站,将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短,试在图中拟定该点。作法:作点B有关直线a 的对称点点,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。证明:在直线 a 上此外任取一点E,连接E.CE.B.BD,点B有关直线 对称,点D.E在直线a上，DB=DC，E=E，DDBA+DCAC， +EB=E+EC在ACE中,AE+CA,即 EADD 因此抽水站应建在河边的点D处，AOB. .ENCMD例:某班举办晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，O）,AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位
8、,请你协助她设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?作法:1.作点C有关直线A的对称点点D， 2. 作点C有关直线O的对称点点E, .连接DE分别交直线A.O于点MN,则C+MN+CN最短FAOBD CH例：如图:C为马厩，D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷,请你帮她拟定这一天的最短路线。G作法：1.作点有关直线的 对称点点F, 2. 作点D有关直线 OB的对称点点E,E 3.连接E分别交直线OA.OB于点G.H,则C+H+DH最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与近来点和点的关系可得最优设计方案。例
9、:一点到圆上的点的最大距离为，最短距离为1，则圆的半径为多少？（5或)三、 运用展开图求立体图形表面上小虫的最短路线问题。通过展开立体图形的表面或侧面,化立体为平面,化曲线或折线为直线,运用两点之间线段最短解决问题。1台阶问题 （)如图，是一种三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于m,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少？析:展开图如图所示，=m(2）如图，在一种长为米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽D平行且A,木块的正视图是边长为.2
10、米的正方形,一只蚂蚁从点A处,达到处需要走的最短路程是 米.(精确到.01米)分析：解答此题要将木块展开,然后根据两点之间线段最短解答解:由题意可知,将木块展开,相称于是AB+2个正方形的宽，长为2+0.22=2.4米；宽为米于是最短途径为:=.60米2.圆柱问题 、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程（1）如图所示，是一种圆柱体，ABCD是它的一种横截面，AB=，C=3,一只蚂蚁，要从点爬行到点，那么,近来的路程长为（ ).7B.D.5分析：规定蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间
11、线段最短”得出成果解:将圆柱体展开，连接、C，=4,BC3,根据两点之间线段最短,AC= 故选D(2)有一圆形油罐底面圆的周长为2，高为6m,一只老鼠从距底面1m的处爬行到对角处吃食物,它爬行的最短路线长为多少?析：展开图如图所示，Bm变式1：有一圆柱形油罐,已知油罐周长是12,高AB是5m,要从点A处开始绕油罐一周建造梯子,正好达到A点的正上方处，问梯子最短有多长?ABABc析:展开图如图所示，AB=m变式2: 桌上有一种圆柱形玻璃杯(无盖)，高为12厘米,底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时,忽然发
12、现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才干达到蜜糖所在的位置。析:展开图如图所示，做点有关杯口的对称点A。则B=厘米3. 正方体问题 (1）如图，边长为的正方体中,一只蚂蚁从顶点出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是( ). () （B） (） (D）析：展开图如图所示，AB=4.长方体问题 1)将右侧面展开与下底面在同一平面内,求得其路程 2)将前表面展开与上表面在同一平面内,求得其路程 3)将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程.（)有一长、宽、高分别是5,4c,3c的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一种顶点处沿长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点
13、B处，则需要爬行的最短途径长为（ ）A.5cmBmC.4cc分析:把此长方体的一面展开,在平面内，两点之间线段最短运用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中,一条直角边长等于长方体的高,另一条直角边长等于长方体的长宽之和，运用勾股定理可求得解：由于平面展开图不唯一，故分状况分别计算,进行大、小比较，再从各个路线中拟定最短的路线（1）展开前面、右面,由勾股定理得B2=(5+4）+329;（2）展开前面、上面,由勾股定理得AB2（3+4）2+5=74;(3）展开左面、上面,由勾股定理得AB=(3+5)4=0;因此最短途径长为cm （2)如图是一种长m，宽m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处(长的四等分）有一只壁虎，B处(宽的三等分）有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ )A.4.8.CD.分析:先将图形展开,再根据两点之间线段最短可知解:有两种展开措施:将长方体展开成如图所示,连接A、B,根据两点之间线段最短,AB=；将长方体展开成如图所示,连接、，则=5; 因此最短距离 （3）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点1处
