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1、求阴影部分图形面积 近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有： 一、规律探究型 例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积 （2）如图2，分别以等边O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？ （3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆
2、，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题） 分析 （1）利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S阴=SO1O2O3+3S弓”即可；（3）直接求解比较困难，可利用求补法，即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交O1于A，则S空白=4SO1AB，由（1）根据对称性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，这样S空白可求 解答 （1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，O1B，O2B 则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓 S菱形=2SAO1O2，O1O2A为正，其边长为r SAO
3、1O2=r2，S弓=-r2=-r2 S阴=2r2+4（r2-r2）=r2-r2 （2）图2阴影部分的面积为S阴=SO1O2O3+3S弓 O1O2O3为正，边长为r SO1O2O3=r2，S弓=-r2 S阴=r2+3（-r2）=r2-r2 （3）延长O2O1与O1交于点A，设O1与O4交于点B，由（1）知，SO1BO4=（r2-r2） SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4 =-（r2=r2） =-r2+r2 则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB =r2-4（-r2+r2） =r2+r2-r2=（+1-）r2 二、方案设计型例2 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园
4、，要求花园所占面积为荒地面积的一半下面分别是小明和小颖的设计方案 小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，我得到路的宽为2m或12m 小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同 （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由 （2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到01m） （3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明（2004年新疆建设兵团中考题） 分析 （1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计 解 （1）小明的结果不对 设小路宽xm，
5、则得方程 （16-2x）（12-2x）=1612 解得：x1=2，x2=12而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意 （2）由题意，4=1612 x2=，x5.5m（3）方案有多种，下面提供5种供参考： 三、网格求值型 例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形 （1）直接写出单位正三角形的高与面积； （2）图1中的ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？ （3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；（4）求出图2中四边形EFGH的面积（2005年吉林省中考题）分析
6、 （1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，B=60，可作ABC的高AK，构造直角三角形，再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形EFGH面积 解：（1）单位正三角形的角为，面积为， （2）ABCD含有24个单位正三角形，故其面积为24=6 （3）如图1，过A作AKBC于K，在RtACK中，AK=，KC= AC= （4）如图3，构造EQSR，过F作FTQG于T，则SFQG=FTQG=4=3 同理可求 SGSH=，SEHR=6，SEQSR=18 S四边形EFGH= SEQSR -SFQG-SG
7、SH-SEHR=18 -3-6=8 四、图形对称型例4 如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D、F，则图中阴影部分的面积是_（2005年河南省中考题） 分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B的面积，即S阴=12= 解答： 五、图形变换型 例5 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上，依次为B、C、D，依次为B、C、D为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90这样点A走过的曲线依次为、，其中交CD于点P （1
8、）求矩形ABCD的对角线AC的长； （2）求的长； （3）求图中 部分的面积S；（4）求图中 部分的面积T（2005年吉林省中考题） 分析 （1）要求AC，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求，因所对圆心角为ABA=90，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因ACDACD，故S=S扇形ACA；（4）连PB，则PB=AB=2，又BC=1，故PBC=60，ABP=30，欲求T，由“T=S扇形ABP+SBCP”即可 解答 （1）AC=（cm） （2）=2=（cm） （3）S=S扇形ACA=（cm）（4）连结BP，在RtBCP中，BC=1，BP=2，BPC=30，CP=，ABP=30，T
9、=S扇形ABP+SPBC=22+=（+）cm2 六、实际应用型例6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A、B、C、D四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD；A、B、C、D四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积在株距都为a，其他客观因素也相同的条件下，请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法哪种方法能更充分地利用土地 分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S和S对应值小的即为合理密植 解 连结AC交BD于点O在菱形ABCD中，有AB=AD，ACBD，BO=BD AB=BD=a，BO=OD=a 在RtAOD中，AO=a S菱形ABCD=2BDAO=a2， S正方形ABCD=a2 设方法（1）中空隙地面积为S1，方法（2）中空隙地面积为S2 则S1=S菱形ABCD-SA=a2-a2， S2=S正方形ABCD-SA=a2-a2 1， AOAB， S菱形ABCDS正方形ABCD，S1S2 栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地
