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1、 第十六章 分式 大归纳基础知识梳理1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。2. 分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。3. 分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A0，且B0.） （分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘
2、（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为 （），其中A、B、C是整式 注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C； （4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最
3、简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。（1）约分时注
4、意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法： 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“” 放在分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母； 7.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的
5、积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘； （2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变 （3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算； （4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。 分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的； 分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可
6、先确定积的符号； 分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。用式子表示是： （其中n是正整数） 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号； （2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负； （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体； （4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。 分式的加减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示为： 法则：异分母
7、的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。用式子表示为： 注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略； （2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性； （3）运算时顺序合理、步骤清晰； （4）运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算:分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8. 任何一个不等于零的数的
8、零次幂等于1， 即；当n为正整数时， （ 注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9. 整数指数幂： 若m、n为正整数，a0，am amn 又因为am amnammnan,所以a n 一般地，当n是正整数时，a n（a0），即a n（a0）是an的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：;（3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：( a0)；（5）商的乘方： ；(b0) 规定：a01（a0），即任何不等于0的零次幂都等于1.10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做
9、分式方程。转化去分母分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步骤： 去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质； 解这个整式方程； 检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。注意： 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！解分式方程的步骤 ：能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根分式方
10、程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 11.含有字母的分式方程的解法： 在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母， 解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的 限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。 12.列分式方程解应用题的步骤是： (1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是
11、所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题 基本公式：路程=速度时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法(3)工程问题 基本公式：工作量=工时工效 (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水11.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a10n的形式,其中1a10,n为原整数部分的位数减1； 用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a10n的形式，其中n为
12、原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1a10.重点题型总结题型一 分式的运算 题型二 分式的化简求值题型三 分式方程题型四 列分式方程解应用题例15. 某乡镇决定对一段公路进行改造，已知工程由甲工程队单独做需要40天完成，如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成。1、 求：乙工程队单独完成这项工程所需的天数；2、求：两队合作完成这项工程所需的天数。题型五 幂的运算及科学计数法思想方法归纳1. 类比思想：类比思想是以对象之间某些属性的相同点为依据，从而判断它们的其它属性也可能相同，它是我们获取新知识的重要思想。例如，本章中关于分式的性
13、质、分式的加减乘除的运算都是与分数类比得到的。 2. 转化思想：将要研究和解决的问题转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”.转化思想再本章中体现非常明显，把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母加减法，把分式方程转化为整式方程来解决。 3. 数学模型思想：分式方程是将具体问题“数学化”的重要思想模型，通过经历“实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的“数学化”的过程，体会分式方程的模型思想。 例3. 一个分数的分母比它的分子大5，若这个分数的分子加上14，分母减去1，所得到的分数为原分
14、数的倒数，求这个分数。中考典题12 16.3.38分式方程 3. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个工程队施工速度快？ 4. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验教材，若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分钟才能完工。 （1）问乙单独整理多少分钟完工？ （2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少多少分钟才能完工？53. 中考热点聚焦考点一、分式有意义、无意义和值为0的条件 分式有意义是解分式方程的前提条件，中考主要考察：分母等于0时，分式无意义；分母不等于0时，分式有意义；分式的值为0的条件是分子为0且分
