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1、-专题函数常见题型归纳三个不等式关系：1a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时取等号2a，bR，ab2，当且仅当ab时取等号3a，bR，()2，当且仅当ab时取等号上述三个不等关系提醒了a2b2，ab，ab三者间的不等关系其中，根本不等式及其变形：a，bR，ab2(或ab()2)，当且仅当ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值利用根本不等式求最值：一正、二定、三等号【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】市2021 2021学年度第一学期期末11且，则的最小值为.【解析】且，解得或，即练习：1市、市2021 届高三年级第一次模拟10假设实数满足，且，则的最
2、小值为解析：由log2*+log2y=1可得log2*y=1=log22，则有*y=2，则=*y+2=4，当且仅当*y=，即*=+1，y=1时等号成立，故的最小值为42.北四市、宿迁2021届高三上学期期末假设实数满足，则的最小值为3.市2021届高三上学期期末，且，则的最小值为.【典例2】市2021 届高三年级第三次模拟12*，y为正实数，则的最大值为解析：由于=1+=1+1+=，当且仅当4=，即y=2*时等号成立【典例3】假设正数、满足,则的最小值为_.解析：由,得,解得(当且仅当且,即时,取等号).变式：1.假设,且满足,则的最大值为_.解析：因为,所以由,解得(当且仅当且,即时,取等号
3、).2.设，则的最小值为_ 43.设，则的最大值为_ 4.北四市、宿迁、2021届高三上学期期中正数，满足，则的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例4】市2021届高三上期末调研测试正数满足，则的最小值为练习1省市高三数学期末14正数满足，则的最小值为.解析：对于正数*，y，由于+=1，则知*1，y1，则+=+1+1=+2=25，当且仅当=时等号成立2.20212021学年度锡常镇四市高三教学情况调查一11正数满足，则的最小值为解析：，当且仅当时，取等号故答案为：93市2021 届高三第一次调研测试12函数的图像经过点，如下列图所示，则的最小值为.解析：由题可得a+b=3，且a1，则+=a
4、1+b+=4+12+5=，当且仅当=时等号成立4省北四市2021 届高三第一次模拟考试12己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为_【解析】由于直线a*+by6=0与直线2*+b3y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab，则2a+3b=2a+3b=2a+3b+=+132+13=25，当且仅当=，即a=b时等号成立5.常数a，b和正变量*，y满足ab16，.假设*2y的最小值为64，则ab_.答案：64；(考察根本不等式的应用).6.正实数满足，则的最大值为答案：【题型三】代入消元法【典例5】市2021届高三调研测试14，则的最小值为解析：由得，令则当且仅当即等号成立
5、练习1省市2021 届高三上学期期末12设实数*，y满足*22*y10，则*2y2的最小值是解析：由*22*y10可得y=，则*2y2= *2=*2+2=，当且仅当*2=，即*4=时等号成立2市2021届高三调研测试13正实数*，y满足，则* + y 的最小值为解析：正实数*，y满足*y+2*+y=4，0*2*+y=*+=*+1+3，当且仅当时取等号*+y的最小值为故答案为：3市2021届高三第三次调研测试9正实数满足，则的最小值为解析：正实数*，y满足*1y+1=16，*+y=，当且仅当y=3，*=5时取等号*+y的最小值为8故答案为：84.市2021届高三上学期期中假设，且，则使得取得最小
6、值的实数=。5.设实数*、y满足*2*y10，则*y的取值围是_6.，且，求的最大值为_【题型四】换元法【典例6】市、市2021届高三年级第二次模拟考试13函数f(*)a*2*b(a，b均为正数)，不等式f(*)0的解集记为P，集合Q*|2t*2t假设对于任意正数t，PQ，则的最大值是【解析】由题意可知任意正数t，集合Q*|2t*2t，构成的集合的交集为，即，令，当且仅当，等号成立，或舍故则的最大值是22021年省、宿迁、高考数学一模试卷14正数a，b，c满足b+ca，则+的最小值为解法一：正数a，b，c满足b+ca，+=+=+当且仅当=时取等号故答案为：解法二：由得，令，则，所以，当且仅当时
7、等号成立故的最小值为练习1省市2021届高三第三次模拟14假设实数*，y满足2*2*yy21，则的最大值为解析：由2*2*yy21可得，令，则，代入得，令，则，当且仅当时取等号，故的最大值为2设是正实数,且,则的最小值是_.解:设,则, 所以=. 因为所以. 3.假设实数*，y满足2*2*yy21，则的最大值为4省、锡、常、镇2021届高三数学教学情况调查数学试题一14假设实数满足，则当取得最大值时，的值为 5 .解析：当时，取最大值8，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例7】市2021 届高三第三次调研测试14正实数*，y满足，则*y的取值围为【解析】设，则，代入得：，由，解得，即
8、*y的取值围为.练习1. 市2021届高三第一次模拟13假设正实数满足，则的最大值为【解析】令，则，因此，当时，因此的最大值为2.设，则的最大值为_ 变式1省锡常镇四市2021届高三教学情况调研二数学试题14在平面直角坐标系中，设点，假设不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是解析：由题意得：，对任意实数都成立，因此，即对任意实数都成立，即，对任意实数都成立，即，即，实数的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、别离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1对恒成立2对恒成立别离变量法：假设所给的不等式能通过恒等变
9、形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1恒成立2恒成立确定主元法：如果把取值围的变量作为主元，把要求取值围的变量看作参数，则可简化解题过程。2市2021届高三年级第三次模拟14设二次函数为常数的导函数为对任意，不等式恒成立，则的最大值为解析：，对任意，不等式恒成立，恒成立，即恒成立，故，且，即，故，故答案为：【题型六】别离参数法【典例8】2021-2021学年省市高三上期末14*0，y0，假设不等式*3+y3k*y*+y恒成立，则实数k的最大值为_ 解析*0，y0，不等式*3+y3k*y*+y可化为，*2*y+y2k*y，即，由根本不等式得，k21=1，实数k的最大值为1，故答案为：1练习1省北三市2021届最后一次模拟3对满足的任意正实数，都有，则实数的取值围为.解析：，而，因此即实数的取值围为2假设不等式*22*ya(*2y2)对于一切正数*，y恒成立，则实数a的最小值为【解析】方法一：令yt*，则t0，代入不等式得*22t*2a(*2t2*2)，消掉*2得12ta(1t2)，即at22ta10对t0恒成立，显然a0，故只要44a(a1)0，即a2a10，考虑到a0，得a.方法二：令yt*，则a，令m12t1，则t，则a，故a. z.
