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1、【代数十讲】不等式例讲（B）答案及讲稿 陶平生基本内容与方法：柯西不等式，平均不等式，排序不等式；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，局部放缩法，化归法，归纳法，调整法、设正实数满足：，求的最小值（，国家集训队测验题）解：将条件式写作：，又由，得，取等号当且仅当，于是，、设，满足，求证：（，国家集训队测验题） 证：据，以及柯西不等式，于是、在锐角三角形中，证明：（年中国国家集训队测试题）我们先证明三角形的以下恒等式：中， 证：取余切代换，令，则，且， ，则，同理有，；因此由于为锐角三角形，则，所以、对于每个正整数，证明：证：令，则，而，以下考虑的情况；注意 ， 由于，所以，当时，由于，所以 ，
2、由此，又因，为证，只要证， ，即要证，只须证 ，即，也即，此为显然因此所证结论成立证二：注意到时，则、设，且，求的最大值解：暂时固定，有为定值，需使卷积 取最大，由于为降序，而为升序，故由排序不等式，仅当时，卷积取得最大值，此时，于是 ，欲使上式取等号，当且仅当 ，这时显然有，即合于条件，因此的最大值为、设为正整数，对于，证明幂平均公式：证：设，注意当时，由平均不等式可得，分别取，并将这个不等式相加得，所以，即有、设，满足：，证明：试将其推广到个元的情况证：由条件得，由平均不等式，即，其余诸式情况类似；记，则；由于，同理有，四式相加得 ；又由幂平均不等式，即，只要证， ，即，此为显然（因），于
3、是所证结论成立本题的一般形式为：设，满足：，则有证明如下：由于，其余诸式可类似得到；记，则，所以，即；另一方面，由幂平均不等式，即；只要证，即，而这由立即得到、设，证明：证：注意左边的每一加项皆为个分式之积，于是将右边的加项也表成此形式，即有今对以上个等式右端分别使用平均不等式，得到将诸式相加，立得所证不等式成立、设；证明：证：记，则是的一个线性函数，为证在区间上非负，只要证在区间两端点的值非负即可；当，；当，所证式化为，由于相加得，、设是互异实数，记，证明：证：不妨设，则，又设，则当时，而当时，当时，有，（这是由于，而，故）因此， 当时，有，（这是由于，而，所以，）因此， 据可知，对一切，均
4、有 记，则化为，因此、设为非负实数，满足，证明： （江西省预赛）证明：为使所证式有意义，三数中至多有一个为；据对称性，不妨设，则；、当时，条件式成为，而，只要证，即，也即，此为显然；取等号当且仅当、再证，对所有满足的非负实数，皆有显然，三数中至多有一个为，据对称性，仍设，则，令，为锐角今以为内角，构作，则，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，今证明，即 即要证 先证 ，即证 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此为显然由于在中，则；而在中，因此式成为 ，只要证， ，即证 ，注意式以及，只
5、要证，即，也即 由于三角形的最大角满足：，而，则，所以，故成立，因此得证、在非钝角三角形中，证明不等式：（国家队集训试题）证：令 则 ， 且 而 同理有 ， ， 代入所证式 ，即要证 据对称性，不妨设 ，此时 ）首先证，当 时 式成立此时 ， 条件成为， 待证的结论式成为 此式等价于 即 由， ， ，故成为 ， 即 ， 也即 此为显然 。（因为据有 ），故得证，取等号当且仅当，或 ，即为等腰直角三角形或正三角形。） 再考虑一般非钝角三角形，固定最大角，将调整为以最大角为顶角的等腰三角形，其中 ， 并设 记 ，据）知，今证明 ， 我们采用如下证题框架：欲证 只要证 因为当以上两式同时成立时，可将
6、平方后减去式的两倍便得式、为证 即证 其中， 先证 ，即证 ，即 即 即 也即 ， 即 ，此为显然 又因 ，而在等腰三角形中， 则 所以 ， 且 因此式化为 往证，即证 注意 ，即要证 ，即 ，由于只要证，即 ，也即 由于为最大角则因此 ，即，从而 ， 所以 ，故成立，从而成立、再证 即 ，即 也即 因为 即要证 即 而 ，因此即要证 此为显然.故成立.据、，及所述证题框架，可知不等式成立从而所证的不等式成立，取等号当且仅当为正三角形或等腰直角三角形.、设，求证：（2008集训队）证法一、欲证的不等式等价于. 因为 , 所以只需证 不妨设, 记下证 事实上, =因为 ,所以又 从而式得证，原命
7、题得证.证法二 记则.原不等式等价于.左边(舒尔不等式),而右边,所以原不等式成立.、设，证明： ，其中. （2008集训队）证 对使用数学归纳法,设原不等式为(*).当时, (*)为恒等式.假设(*)对成立,即 因此要证明(*),只需证明 . 记.由于,所以.由切比雪夫不等式 .因此要证,只要证明 .又 ,故只需证明,即. 下面证明 :事实上,对, ,所以 .又, 而, 所以,从而成立,故原命题得证.、设是互异的非负实数，证明：（越南）证：据对称性，不妨设，记，则 当且仅当时，式取等号为证原不等式，只需证明， ，设，式化为 即，也即，此为显然，取等号当且仅当综上，得所证不等式成立，当且仅当时
8、成立等号、设实数都不等于，求证：.、证明存在无穷多个三元有理数组，使不等式中等号成立. 证、令，则.由题设条件xyz1得，即 ，所以 ，从而 .、令，是正整数，则是三元有理数组，都不等于，且对于不同的正整数，三元有理数组是互不相同的.此时，从而命题得证.、正实数x，y，z满足，证明证：原不等式可变形为 由柯西不等式及题设条件，得，即 同理 ， ，把上面三个不等式相加，并利用，得摩尔多瓦选手Boreico Iurie的解法获得了特别奖其证法如下：证二、由于 ，所以 、设，证明：证： 注意两边皆为变元的零次齐次对称函数，因此可以令，化为证 由于，而由柯西不等式，同理有，所以 又由于是， 据得， 据对称性，不妨设，则，因此所证的不等式成立、设，且，证明： （国家集训队）证：即要证， ，利用柯西不等式，式左边只要证 由于，同理有，；因此， ，由于，同理有，则 ，由知，即成立，因此结论得证、设，证明：证：左边的一般项形式是，我们利用柯西不等式将其抽取出来：对每个，所以 ，令，求和得（注）以上用到求和变换公式： ，附证明如下：1
