《奥数第7讲[1].竞赛123班.教师版_染色与操作问题[1].doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数第7讲[1].竞赛123班.教师版_染色与操作问题[1].doc（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、五年级奥数 第十三讲 染色中的抽屉原理例1:平面上有ABCDE点。 染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。【例1】 六年级一班全班有名同学，共分成排，每排人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【分析】 划一个的方格表，
2、其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有个黑格，个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。【例2】 右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达到，为什么？【分析】 采用染色法。如右下图，共有个展览室，对这个展览室，黑白相间地进行染色，从白室出发走过第扇门必至黑室，再由黑室走过第扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的个展览室，再回到
3、白室，共走过扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。 现在，走过扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室。巩固 有一次车展共个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?分析 如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多个，而实际上白格、黑格都是个，故不可能做到不重复走遍每个展室。【例3】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每
4、一个点，然后回到出发点？【分析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22个和23个。因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半
5、张棋盘上除起点以外的其它个点，要跳步，是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）。因为步跳过的点与点各个，所以起点必是，终点也是。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。【例4】 右图是由个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形？【分析】 将这个小方格黑白相间染色（见右下图），有个黑格，个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么个格应当是黑、白各个，与实际情况不符，所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形。【例5】 个和个能否盖住的大正方形？【分析】 如右图，对的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住白
6、黑，个则盖住白黑。则盖住了白黑或黑白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的白黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住。注意：本题中每个盖白黑或黑白，个这种形状盖住的不一定是白黑或黑白，因为可能一部分盖白黑，另一部分盖黑白。这是一个容易犯错的地方。前铺 能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？分析 不能。将的棋盘黑白相间染色（见右图），有个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是或者，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住个黑格。巩固 如右图
7、，缺两格的方格有个格，能否用个图不重复地盖住它且不留空隙?分析 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格个，白格个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。【例6】 用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形？请说明理由。【分析】 如右图所示，将或的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有个，是奇数，所以只用和的小正方形，不可能拼成的大正方形。拓展 个正方形和个长方形能不能拼出的大正方形?请说明理由。分析 若仍然
8、将的大正方形黑白相间染色，则和两种形状盖住的都是两白两黑。必须寻找其他的染色方法。新的方法必须使得和长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律。采用如右图的染色方法，则：长方形必盖住两黑两白，共个，盖住黑白；长方形可盖住白黑或黑白。可以发现，总共只能盖住黑白或白黑，而图中实际有个黑格个白格，故不可能用个和个的长方形盖住的大正方形。对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活。【分析】 如果我们可以把个电话或个电话做到每台电话与个电话相连接，我们可以将分成个一组的共组以及个一组的共组。如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为台电话
9、的情形，右图为台电话的情形。所以我们可以把台电话中的每台电话恰好与其它台相连。【例9】 下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从点穿过房间到达处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？【分析】 只有一个口，只能选择进；有两种选择，可以选择进也可以选择进，所以有种走法；依此类推，每间房间的走法种数如下：。所以从点开始有（种）。【例11】 右图是一个的方格盘。先将其中的个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？【分析】 开始时染黑个方格，这个方格的总周长不会超过，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过，而方格盘的周长是，所以不能将整个方格盘都染成黑色。【例12】 如图，图的方格中交替填满了和，图是从图中任意位置截取的、三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加或同时减，如此反复多次，再将这三种图形不重叠地拼成的。问：图中的格中的数字应该是多少？
