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1、2019-2020年高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第四课时)大纲人教版选修课题2.1.4研究性课题：杨辉三角(一)教学目标一、教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质).二、能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题.2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力、数式变换能力.3.观察问题、概括问题、证明问题的能力.三、德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育,激励
2、学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,它与排列、组合和概率的知识结合起来.事实上,许多重要的数学公式都跟组合数有关,因此,适当记住杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有帮助的.教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点,用数学归纳法证明二项式定理,也是一个难点,由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系,究竟有什么样的关系,要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的,从一般的情况求解显
3、得枯燥无味,而本节也是研究性课题,在教学中采用“特殊一般”的科学思维方法,让学生讨论研究,从中发现问题,提出问题,最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程,让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.教具准备实物投影仪(或幻灯机,幻灯片),学生的讨论成果展示.教学过程.课题导入师在第十章,我们在学习二项式定理时,已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就记载着类似下面的表：图23这个表称为杨辉三角,在详解九章算法一书里,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于释
4、锁算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal,1623年1662年)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角,这就是说,杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读,目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌,激励他们立志为中华民族的伟大复兴而读书)师鉴于杨辉在数学上的伟大贡献,今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系.(板书课题,研究性课题：杨辉三角).讲授新课师一般的杨辉三角如下：(打出幻灯片,或多媒体课件)第0行1
5、第1行 11第2行121第3行 1331第4行 14 641第5行 15101051第6行 1615201561第n-1行11第n行1 1其中.师在学习二项式定理时,我们知道,杨辉三角的第n行就是二项式(a+b)n展开式的系数,请同学们回顾一下,二项式定理的内容是什么？生1(a+b)n=an+an-1b1+an-2b2+an-rbr+bn.师你们能证明这个定理吗？生1利用定义证明：(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(n个括号).等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是n次式,即展开式应有下面形式的各项.an,an-1b,an-2b2,an
6、-rbr,bn.现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数,也就是看展开式中各项的系数是什么,在上面n个括号中：每个都不取b的情况有1种,即种,所以an的系数为;恰有1个取b的情况有种,所以an-1b的系数为;恰有2个取b的情况有种,所以an-2b2的系数为;恰有(n-1)个取b的情况有种,所以abn-1的系数为;n个都取b的情况有种,所以bn的系数为.因此,(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+an-rbr+bn.师这种定义法证明固然是好,但不能代表更广泛的意义.你们能用其他方法给予证明吗？生2用数学归纳法证明:(1)n=1时,左边=(a+b)1=a+b,展开式的系数为1,1,而右边=
7、a+b=a+b,左边=右边.n=1时等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即(a+b)k=ak+ak-1b+ak-rbr+bk.当n=k+1时,(a+b)k+1=(a+b)k(a+b)=(ak+ak-1b+ak-rbr+bk)(a+b)=ak+1+akb+ak-rbr+1+abk+akb+ak-rbr+1+abk+bk+1=ak+1+(+)akb+(+)ak-rbr+1+(+)abk+bk+1.利用,得到(a+b)k+1=ak+1+akb+ak-rbr+1+abk+bk+1.这就是说,如果n=k时等式成立,那么n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任意正整数n,等式都成立.这样
8、,我们就证明了二项式定理.师杨辉三角有哪些基本性质？生3(1)对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即(k=0,1,2,n).这一性质可直接由组合数计算公式或性质得到.将可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2,3,n,直线将其图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.因为由(1)可知,.又,所以.那么f(k)的单调性情况由来决定,即g(k)1还是g(k)1.由 可知,当时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间的一项二项式系数取得最大值；当n为奇数时,中间的两项二项式系数、相等,且同时
9、取得最大值.生4这个三角形的两条斜边都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是,这也是杨辉三角的最基本的性质.师除了杨辉三角的基本性质外,仔细观察杨辉三角的图形,我们还可以发现什么有趣的排列规律呢？(引导启发学生观察问题、分析问题、提出问题,最后再解决问题,教师应参与学生一起讨论)生5计算杨辉三角中各行数字的和,我们有：(板书)第1行1+1=2,第2行1+2+1=4,第3行1+3+3+1=8,第4行1+4+6+4+1=16,第5行1+5+10+10+5+1=32,于是：猜想第n行,即(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.师你能证明这个结论吗？生6可以,用数学归纳法证明
10、：(板书)(1)当n=1时,左边,右边=21=2,左边=右边,即当n=1时,等式成立.(2)假设n=k时,结论成立,即,那么n=k+1时,=22k=2k+1,即n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,等式对一切自然数nN*都成立.师你在证明过程中用到了什么技巧？生7利用杨辉三角的基本性质3,(前面证明过了)；换成；换成,然后合并,再用归纳假设.师他的这两步代换是十分重要的,也是较好的.如果只利用性质3是无法操作的,所以在具体的解题过程中要因题、因情而宜,不能千篇一律地都使用一个技巧.同学们,思考一下,还有其他的方法可以证明吗？生8用赋值法.在二项式定理中,对a,b都赋值1,即可得出结论.
11、证明：,在上式中令a=b=1,即得.故有.师请同学们再观察杨辉三角,还可以得到什么结论呢？生9经观察计算知,每行的奇数项的和等于偶数项的和,即.师你怎样证明它呢？生9利用赋值法.因为(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+an-rbr+bn,令a=b=1得.令a=1,b=-1得.由得.又由知.故命题得证.师用赋值法证明有关组合恒等式是十分简捷的.请同学们再观察杨辉三角的第1,3,7,15行的各数字有什么特点？生10第1行是1；第3行是1,3,3,1；第7行数字是1,7,21,35,35,21,7,1;第15行数字是1,15,105,105,15,1,这些行上的各个数字都是奇数,而第2,4
12、,5,6,8,9,10,11,12,13,14行上的数字有奇数有偶数.师总结概括得很好！你们能将这种情况推广吗？(稍等片刻,让学生互相讨论、交流自己的研究结果,应该给学生留一定的时间和空间)生11因为1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,所以我们大胆猜想第2k-1行(kN*)的各个数字都是奇数.师你能证明吗？生11这个我没有证明,但我认为应该是正确的！师不能仅靠直觉,前面我们也介绍了一些国际级数学大师在猜想中也会犯错误的,所以我们提出的猜想,要尽可能地给予证明,如果课堂上不能解决,课后再讨论证明方法也行.生12我有一种证明思路,利用组合数定义进行证明即可.,下面对r进行分类
13、,当r为偶数时,设为r=2m(mN),.下面再对m的奇偶性分类讨论,经过有限步的约分化简,可以得到在r=2m时是奇数.同样地,当r为奇数,即r=2m+1时,我们也用这种无穷递降法进行化简,得出也是奇数.师同学们,他用这种无穷递降法求解思想来证明,你们能听懂吗？众生思路我们是清楚的,就是没有哪一种情况是坚持到底的.师这种无穷递降法证明有关整数类问题是十分有效的方法,它在证明过程中奇偶性是交替的,分子与分母的各个因数中只要有偶数项一定将2提取进行约分.由于r是有限的,所以经过有限步的变换可以实现将所有的偶数因子中的“2”约分,化为全是奇数的乘法与除法.也就是他的叙述上稍加改进,即更加完善了.生13
14、我在生12的基础上进行改进,也是利用无穷递降法求证,同时也运用数学归纳法的思想求解.“因为当r=0时,r=1时,都是奇数,命题成立”.(2)假设当r=l(l0)时结论成立,即是奇数,那么r=l+1时,.当l是偶数时,2k-l-1,l+1都是奇数,是奇数.当l是奇数,即l=2m+1(mN)时,.对m的奇偶性再进行分类讨论,这样无穷递推下去,因k是有限的,只要经过有限步的变换即可使变为.由归纳假设,可知这个命题对r=l+1时也成立.由(1)(2)可知,命题对r0,1,2,2k-1都成立.师很好！这个学生的思路也是很清楚的,他将数学归纳法的思想运用到这个问题中了,虽然数学归纳法仅适合于无限个取值,但这种思想递推关系是可以用的.课堂练习归纳已经总结的杨辉三角的性质.课时小结师这节课我们研究了杨辉三角的有关性质,同学们,你们能归纳概括吗？生(1)对称性. (r=0,1,2,n),关于对称.(2)单调性及最大值.当n为偶数时,单调递增, ,单调递减,且最大.当n为奇数时,递增,递减,且为最大.(3).(4),.(5)第2k-1行的
