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1、第三节 平面向量基本定理 学点：探究与梳理自主探究探究问题：已知,你能得出的坐标吗? 探究问题：已知直角坐标系内两点把向量按向量平移至的位置求：(1)点的坐标；(2)向量的坐标探究问题：设,为线段P1P2上的一点，当时，求点的坐标重点把握1准确理解平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解唯一的（2）在定理中，实数的唯一性是相对于基底而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的（3）这个定理体现了转化与化归的思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的
2、基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决2关于平面向量的坐标理解来源:学#科#网（1）平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同（2）在平面直角坐标系中，符号可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点或向量3两个向量共线条件的表示方法：已知，（1）当.这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系（2）.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征来源:Zxxk.Com 题例：解析与点拨例1 已知，求：（1）；（2）解析：（1）；（2）点拨：向量的坐标运算主要是利用加、减、
3、数乘预算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标变式训练1：若三点坐标为求：（1）； (2)例2已知，当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？解析： 与平行，解得，此时，与平行且反向来源:学科网点拨：此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断变式训练2：已知，判断是否共线？如果共线，它们的方向相同还是反向？例3已知平面上三个的坐标为求点的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点解析：（1）当平行四边形为时，设点的坐标为，则 (2)当平行四边形为时，仿（1）可得(3)当平行四边形为时, 仿（1）可得综上可得点可能为点拨：向量的坐标运算是几何与代数的统一
4、，几何图形的运算法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题变式训练3：已知中，求顶点D与对角线交点M的坐标学业水平测试巩固基础 1若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）A， B， C， D，2已知三点，若和是相反向量，则点坐标是（ ）A（1，0） B(1，0) C(1，1) D(1，1)3向量，将按向量平移后得向量，则的坐标形式为（ ）A（10，1） B（4，11） C（7，5） D（3，6）4若，则等于（ ）来源:学+科+网Z+X+X+KA B C D 5已知向量，如果三点共线，则实数= 6已知，试用表示
5、能力提升7M为ABC的重心，则下列各向量中与共线的是（）A BC D8在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，试用表示，9已知点与，在直线上，且，求点的坐标 10已知中为的中点，在上，求证：三点共线11已知点，求与的交点的坐标拓展创新12如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则m+n的值为 13平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中且，则点C的坐标x,y满足方程（ ）A B C D自主发展设是平面内一组基底，当时，恒有第三节答案自主探究：来源:学_科_网Z_X_X_Kab=(x1x2，y1y2) ，ab=(x1x2，y1y2)，a=(x1，y1) (1)；(2)向量的坐标(x2x1，y2y1) 点的坐标为变式训练：1（1），（2）；2共线且方向相反；3，学业水平测试：1D； 2C； 3C； 4D ；5-2或11；6；7C；8 =，=；9；10略；11（3，3）；122； 13D自主发展：证明：假设，则由，得，所以与已知是平面内一组基底矛盾，因此假设不成立，；同理综上
