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1、圆锥曲线中的轨迹问题(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（解析版）一、单选题1平面的斜线AB 交于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交于点C ，则动点C 的轨迹是（）A 一条直线B 一个圆C 一个椭圆D 曲线的一支【答案】A【分析】先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.【详解】如图，设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且的斜线AB ，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面与平面的交线上.【点睛】本题主要考查
2、轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.2棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有1PC BD ，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（）A B C 2D 1【答案】C【分析】本题首先可以根据题意确定当1PC BD 时直线PC 所在平面区域，然后结合图像即可得出动点P 的轨迹所围成图形为1AB C V ，然后求出1AB C V 面积即可得出结果.试卷第2页，总8页【详解】如图，易知直线1BD 平面1ACB ，故动点P 的轨迹所围成图形为1AB C V ，因为1AB C V的正三角形，所以其面积242S
3、=，故选：C.【点睛】本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.3如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（）A 圆B 抛物线C 双曲线D 直线【答案】B【分析】作PQ AD ，11QR A D ，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，由勾股定理得2221PR PQ RQ -=，由已知221PR PM -=，故PQ PM =，即P 到点M
4、的距离等于P 到AD 的距离【详解】解：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，作PQ AD ，垂足为Q ，则PQ 平面11ADD A ，过Q 作11QR A D ，则11A D 平面PQR ，则PR 为点P 到直线11A D 的距离，由题意得2221PR PQ RQ -=，由已知得221PR PM -=，所以PQ PM =，即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P 的轨迹是抛物线，故选：B【点睛】此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题二、填空题4已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线
5、相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是_.【答案】221(0)x y y +=【分析】设点(),P x y ，轨迹直线PA 与PB 的斜率之积为-1，即1PA PB k k =-化简求解.【详解】设点(),P x y ，因为直线PA 与PB 的斜率之积为-1，试卷第4页，总8页所以1PA PB k k =-，即111y y x x =-+，整理得：221(0)x y y +=，所以动点P 的轨迹方程是221(0)x y y +=，故答案为：221(0)x y y +=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5动圆经过点(3,0
6、)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是_.【答案】212y x=【解析】试题分析：设动点(,)M x y ，设M 与直线:3l x =-的切点为N ，则MA MN =，即动点M 到定点A 和定直线:3l x =-的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线，且以(3,0)A 为焦点，以直线:3l x =-为准线，所以6p =，所以动圆圆心的轨迹方程为212y x =.考点：抛物线的定义及其标准方程.三、解答题6圆C 过点()60A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ
7、 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)13x y -+-=；（2）221113(1)24x y -+-= .【分析】（1）求得线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 方程联立，求得圆心C 的坐标，由CA 求得半径，由此求得圆C 的方程.（2）设出M 点坐标，由此求得P 点坐标，将P 点的坐标代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.【详解】（1）直线AB 的斜率50116k -=-，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +=，95522y +=.因此，直线m 的方程为57122y x -=- .即10x y -=.又圆心在直线l 上
8、，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y -=-+=，解得32x y =所以圆心坐标为()3,2C，又半径r CA =，则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=.（2）设线段PQ 的中点(),M x y ，()00,P x y M 为线段PQ 的中点，则008202x x y y +=+=，解得00282x x y y=-=()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y -+-=，即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y -+-= .【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档
9、题.7若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足|1|2PO PA =.（1）求点P 的轨迹方程；【答案】（1）22(1)4x y +=；（2）45.【分析】试卷第6页，总8页（1）设(,)P x y ，由|1|2PO PA =结合两点间的距离公式代入计算可得点P 的轨迹方程；【详解】（1）设(,)P x y ，由题意可知224PA PO = ，22224()(3)x y x y +=-+整理得22(1)4x y +=，即为点P 的轨迹方程【点睛】方法点睛：本题考查轨迹方程的求法，考查最值的应用，求轨迹方程的一般步骤是：1.建立合适的坐标系，设出动点的坐标；2.列出动点满足的关
10、系式；3.依条件特点，选择距离公式或斜率公式等写出关于,x y 的方程并化简；4.检验或证明所求方程即为符合条件的方程8点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3l x =的距离之比是常数35，求点M 的轨迹方程.【答案】2212516x y +=【分析】把已知条件用方程表示出来化简即得【详解】由题意35=，化简得：2212516x y +=故答案为：2212516x y +=9在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在圆上运动时，线段PD上有一点M ，使得DM =，（1）求M 的轨迹的方程；【答案】（1）2213x
11、y +=；【分析】（1）先设(),M x y ，()00,P x y ，根据题意，得到22003x y +=，0033x x y y =，进而可求出结果；【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，由题意可得，22003x y +=，0033x x y y =，则00x x y =，代入22003x y +=，整理得2213x y +=；即所求M 的轨迹的方程为2213x y +=；【点睛】方法点睛：由相关点法求轨迹方程的一般步骤：（1）设轨迹上任意一点的坐标，以及其相关点的坐标；（2）根据题意，得出两点坐标直接的关系，用所求点表示其相关点的坐标，代入已知曲线方程；（3）化简整
12、理，即可得出结果.10已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m （1）求点P 的轨迹C 的方程；.（2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =；（2）直线MN 的斜率为0.【分析】（1）设P (),x y (0x )，则有PF =1x =+，化简即可得出轨迹方程；（2）设MA 的方程为()11x n y m =-+，联立抛物线可得2110n n m -+=，同理设MB的方程为()21x n y m =-+可得2220n n m -+=，进而得出
13、121n n +=，根据中点公式即可得出结果.试卷第8页，总8页【详解】解：（1）设点P 的坐标为(),x y (0x )，则有PF =点P 到y 轴的距离为x x =，1x =+，化简可得24y x =，即点P 的轨迹C 的方程为24y x =.（2）设过点M 作抛物线C 的切线MA 的方程为()11x n y m =-+，与抛物线C 联立，可得2114440y n y n m -+-=.易知该方程仅有1个解，可得()21116160n n m =-=，即2110n n m -+=，则有切点A 的坐标为()211,2n n .设过点M 作抛物线C 的切线MB 的方程为()21x n y m =-+，则有2220n n m -+=，且点B 的坐标为()222,2n n .观察式，可知1n ，2n 为方程20n n m -+=的两个解.根据韦达定理，可得121n n +=，根据中点公式1222122A B N y y n n y +=，可知点N 的纵坐标为定值1，故可得直线MN 的斜率恒为0.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，考查抛物线中的定值问题，属于较难题.
