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1、排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理排列排列数公式组合组合数公式组合数的两个性质 二项式定理二项展开式的性质考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的 应用问题（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定
2、的顺序排成一排，那 么第一、第二第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数mmm二m.例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法（解：mn种）二、排列.1. 对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m（mWn）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相 同.排列数.从n个不同元素中取出m（mWn）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Am
3、表示.n排列数公式：n!Am= n（n 一 1）A （n - m +1） =（m n, n, m e N）（n 一 m）!注意：n-n! = （n + l）!-n! 规定 0! = 1A m = Am + Am -C m-1 = Am + mAm-1Am = nAm-1规定 C0=Cn=1n+1 n mn nnnn-1n n2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集s有k个不同元素ai, a2，.an其中限重复数为n、n2n，且n二n +n?+n ,则S的排列个数等于n =:.12 k12kn !n !.n !1 2 k例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n =
4、Q旦 =3又例如：数字5、5、5、求其排列个1!2!数其排列个数n - 3! 一 1.3!三、组合.1组合：从n个不同的元素中任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合.组合数公式：Cm = At = n(n 一 D人(n 一 m + D Cm =nn Amm!n m!(n - m)!m两个公式：Cm=Cn-m；Cm-n+Cm=Cn+i 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯 一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个
5、红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm-1 .C1 =Cm-1 一类是不含红球的选法有Cm )n 1 n n 根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素， 只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所m以有Cm-1，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C n种，n依分类原理有Cm -n+Cm=Cn+1 排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. 几个常用组合数公式C0+
6、C1+C2+A九 n = 2nn n n nC 0 + C 2 + C 4+A 二C 1+ C 3 + C 5 +A =2n-1n n nn n nC m + C m + C m A C m = C m +1n m+1 m+2m+n m+n+1kCk= nCk-1nn -111Ck =Ck+1k +1 n n +1 n+1 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法.女口：丄+ - + -+A n = 1 - 1(利用 口 = 1 -丄)2! 3! 4!(n +1)!(n +1)! n!(n -1)! n!ii. 导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v. 递推法(即用 Cm +Cm1
7、 = C m 递推)如：C I +C 4 +C 5n十nn n+1vi. 构造二项式.女口： (C0)2 +(C 1)2 +A + (Cn)2 =C nnnn 2n证明：这里构造二项式(X + 1) n (1 + X)n = (1 + X)2 n其中Xn的系数，左边为C 0 Cn +C 1 -Cn-1+C 2 -Cn - 2 + A +C C 0 = (C 0)2 +(C 1)2 +A +(C)2，而右边=C 2 nn n n n n nn n nnn2 n四、排列、组合综合.1. I.排列、组合问题几大解题方法及题型： 直接法.排除法. 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素
8、来考虑，待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m n)个元素必相邻的排列有An-m+1 -Am个其中An-m+1是一个n - m +1 mn -m+1“整体排列”，而Am则是“局部排列”.m又例如有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为A2- a 1 .a2.n n -12 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An -. A 2.n -12 有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A2.A-1 .n n -1注：区别在于是确定的座位，有A2种；而的商品地位相同，是从n件不同商品任取2的2个，有不确
9、定性. 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主 要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少An - m - A m (插空n-m n-m +1法)，当n - m+1$m,即mW 时有意义.2 占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素； 从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则. 调序法：当某些元素次序一定时，可用此法解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m冗n)个元素的全排列有Am种，由于要求
10、m个元素次序一定，因此只能取其中的某m一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一 定，共有出种排列方法.Amm例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法解法一：(逐步插空法)(m+1) (m+2)n二n! / m!；解法二：(比例分配法)An/Am .nm 平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有C nC nA C nkn (k 1) nnAkk例如：从1, 2, 3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法有C2 = 3 （平均分组就2! 用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种
11、子选 手必在一组的概率是多少C 8 C 2 ）P = 18 2 ）C10 / 2!20注意：分组与插空综合.例如:n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共 有多少种排法有An-m -A m/Am，当n - m+1 Mm,即mW时有意义.n 一 m n 一 m+1 m2 隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：x + x + x + x = 12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一 1234列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x ,x ,x ,x显然x + x + x + x = 12 ,故（x ,x
12、 ,x ,x ）是方程的一组解反之,123412341234方程的任何一组解（y ,y ,y ,y ），对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图1234x x x x所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板1234的方法数C 3 注意：若11 为非负数解的 x 个数,即用 a ,a ,.a 中 ai 等于 x+1 ,有x + x + x . + x = A n a -1 + a -1 + .a -1 = A ,进而转化为求a的正整数解的个数为123 n12nC n-1A+n并且都排在某r个指定位置则有A rAk-rr n 一 r 定位问题：从n个不同元素中每次
13、取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定 在）某一位置上,共有多少种排法固定在某一位置上：Am-1 ；不在某一位置上：Am 一Am-1或A m + A 1 .Am-1 （一类是不取出n-1nn-1n-1 m -1 n -1特殊元素a,有A”,，一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1 个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） 指定元素排列组合问题.i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在 内。先C后A策略，排列C rCk-rAk ;组合C
14、 rCk-r r n r kr nrii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含 在内。先C后A策略，排列C kAk ；组合C k.n - r knriii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）C sC k-sAkC sCk-s都只包含某r个元素中的S个元素。先C后A策略，排列CrCn-r k ；组合r n-r II. 排列组合常见解题策略： 特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的 策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略； 相邻问题插空处理策略； 不相邻问题插空处理策略;定序问题除法处理策略;分排问题直排处理的策略;“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略2. 组合问题中分组问题和分配问题. 均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar （其中A为非均匀不编号分组中分法数）如果再有K组均匀r分组应再除以Ak.k例: 10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C 2C4C4/A2 = 1575.若分成10842六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C 1C 1C2C2C2C2/A2 A4109
