排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的 应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那 么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m・m・・・・m二m..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法 （解：mn种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m（mWn）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相 同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m（mWn）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Am表示.n⑷排列数公式：n!Am= n（n 一 1）A （n - m +1） = （m < n, n, m e N）（n 一 m）!注意：n-n! = （n + l）!-n! 规定 0! = 1A m = Am + Am -C m-1 = Am + mAm-1 Am = nAm-1 规定 C0=Cn=1n+1 n m n n n n n-1 n n2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集s有k个不同元素ai, a2，・・・...an其中限重复数为n、n2 n，且n二n +n?+ n ,则S的排列个数等于n = : .1 2 k 1 2 k n !n !...n !1 2 k例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n = Q旦 =3又例如：数字5、5、5、求其排列个1!2!数其排列个数n - 3! 一 1.3!三、组合.1•⑴组合：从n个不同的元素中任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：Cm = At = n(n 一 D人(n 一 m + D Cm = n—n Am m! n m!(n - m)!m⑶两个公式：①Cm=Cn-m；②Cm-n+Cm=Cn+i① 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯 一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm-1 .C1 =Cm-1 一类是不含红球的选法有Cm )n 1 n n② 根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素， 只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所m以有Cm-1，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C n种，n依分类原理有Cm -n+Cm=Cn+1 •⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式C0+C1+C2+A九 n = 2nn n n nC 0 + C 2 + C 4+A 二C 1+ C 3 + C 5 +A =2n-1n n n n n nC m + C m + C m A C m = C m +1n m+1 m+2 m+n m+n+1kCk= nCk-1n n -111Ck = Ck+1k +1 n n +1 n+1② 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法.女口：丄+ - + -+A n = 1 - 1 (利用 口 = 1 -丄)2! 3! 4! (n +1)! (n +1)! n! (n -1)! n!ii. 导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v. 递推法(即用 Cm +Cm—1 = C m 递推)如：C I +C 4 +C 5 n十］•n n n+1vi. 构造二项式.女口： (C0)2 +(C 1)2 +A + (Cn)2 =C nn n n 2n证明：这里构造二项式(X + 1) n (1 + X)n = (1 + X)2 n其中Xn的系数，左边为C 0 Cn +C 1 -Cn-1+C 2 -Cn - 2 + A +C" C 0 = (C 0)2 +(C 1)2 +A +(C")2，而右边=C 2 nn n n n n n n n n n n 2 n四、排列、组合综合.1. I.排列、组合问题几大解题方法及题型：① 直接法. ②排除法.③ 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列•它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m < n)个元素必相邻的排列有An-m+1 -Am个•其中An-m+1是一个n - m +1 m n -m+1“整体排列”，而Am则是“局部排列”.m又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为A2- a 1 .a2.n n -1 2② 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An -. A 2.n -1 2③ 有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A2.A„-1 .n n -1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取2的2个，有不确定性.④ 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主 要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少An - m - A m (插空n-m n-m +1法)，当n - m+1$m,即mW 时有意义.2⑤ 占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素； 从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则.⑥ 调序法：当某些元素次序一定时，可用此法•解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m冗n)个元素的全排列有Am种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某m一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一 定，共有出种排列方法.Amm例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法解法一：(逐步插空法)(m+1) (m+2)…n二n! / m!；解法二：(比例分配法)An/Am .nm⑦ 平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有C n・C nA C nkn (k 1) n nAkk例如：从1, 2, 3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法有C2 = 3 （平均分组就2! 用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选 手必在一组的概率是多少C 8 C 2 ）P = —18 2 ）C10 / 2!20注意：分组与插空综合.例如:n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共 有多少种排法有An-m -A m/Am，当n - m+1 Mm,即mW 时有意义.n 一 m n 一 m+1 m 2⑧ 隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：x + x + x + x = 12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一 1234列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x ,x ,x ,x显然x + x + x + x = 12 ,故（x ,x ,x ,x ）是方程的一组解•反之,1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4方程的任何一组解（y ,y ,y ,y ），对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图1234x x x x所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板1 2 3 4的方法数C 3 •注意：若11 为非负数解的 x 个数,即用 a ,a ,...a 中 ai 等于 x+1 ,有x + x + x ... + x = A n a -1 + a -1 + ...a -1 = A ,进而转化为求"a的正整数解的个数为1 2 3 n 1 2 nC n-1A+n并且都排在某r个指定位置则有A rAk-rr n 一 r⑨ 定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定 在）某一位置上,共有多少种排法固定在某一位置上：Am-1 ；不在某一位置上：Am 一Am-1或A m + A 1 .Am-1 （一类是不取出n-1 n n-1 n-1 m -1 n -1特殊元素a,有A”,，一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1 个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩ 指定元素排列组合问题.i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在 内。
先C后A策略，排列C rCk-rAk ;组合C rCk-r •r n — r k r n—rii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含 在内先C后A策略，排列C kAk ；组合C k.n - r k n—riii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）C sC k-sAk C sCk-s都只包含某r个元素中的S个元素先C后A策略，排列CrCn-r k ；组合r n-r •II. 排列组合常见解题策略：① 特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的 策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤ 相邻问题插空处理策略；⑥ 不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略2. 组合问题中分组问题和分配问题.① 均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar （其中A为非均匀不编号分组中分法数）•如果再有K组均匀r分组应再除以Ak.k例: 10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C 2C4C4/A2 = 1575.若分成10 8 4 2六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C 1C 1C2C2C2C2/A2• A410 9。