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1、2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷2000年12月24日考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的反函数 2若复数z满足方程（是虚数单位），则z= 3函数的最小正周期为 4二项式的展开式中常数项的值为 5若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 6圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为 7计算： 8若非零向量、满足|=|，则与所成角的大小为 9在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一
2、个红球的概率是 （结果用分数表示）10若记号“*” 表示求两个实数与的算术平均数的运算，即*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数、都能成立的一个等式可以是 11关于的函数有以下命题：（1）对任意的都是非奇非偶函数；（2）不存在使既是奇函数，又是偶函数；（3）存在使是奇函数；（4）对任意的都不是偶函数其中一个假命题的序号是 因为当= 时，该命题的结论不成立12甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税若存满五年后
3、两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元（假定利率五年内保持不变结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13若、为实数，则0是的（ ）(A) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(B) 充要条件(D) 既非充分条件也非必要条件14若直线=1的倾斜角为，则（ ）(A) 等于0(B) 等于(C) 等于(D) 不存在15若有平面与，且，则下列命题中的假命题（ ）(A) 过点
4、P且垂直于的直线平行于(B) 过点P且垂直于的平面垂直于(C) 过点P且垂直于的直线在内(D) 过点P且垂直于的直线在内16若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（ ）(A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（本题满分12分）已知R为全集，A=，B=，求18（本题满分12分）已知，试用表示的值19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米（1）求关于的函数解
5、析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当为何值时，V最大？求出V的最大值（求解本题时，不计容器的厚度）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在B B1、DD1上，且AEA1B，AFA1D（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小（用反三角函数值表示）21（本题满分16分
6、）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分已知椭圆C的方程为，点的坐标满足1过点P的直线与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数22（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答一、填空题1 21- 32 420 56 7 8 910等11（1），；（1），；（4），等（两个空格全填对时才能得分其中也可以写成任何整数）12219.01二、选择题13
7、A 14C 15D 16B三、解答题17解由已知4由 解得-13所以由1，解得-23所以于是 ，故18解因为 ，所以因而又，于是因此19解（1）设为正四棱锥的斜高由已知解得 （2）易得因为，所以等式当且仅当，即时取得故当米时，有最大值，的最大值为立方米20证（1）因为，所以在平面上的射影为由，得同理可证因为，所以解（2）过作的垂线交因为，所以设所成的角为，则即为平面与平面所成的角由已知，计算得如图建立直角坐标系，则得点因为与所成的角为，所以，由定理知，平面与平面所成角的大小为21解（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为当时，设直线的斜率为，则的方程为由已知， ， 由得， 由得， 由、及，得点的
8、坐标满足方程 当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为（）显然点的坐标满足方程综上所述，的坐标满足方程 设方程所表示的曲线为，则由 得 因为，由已知1，所以当=1时，曲线与椭圆有且只有一个交点当1时，曲线与椭圆没有交点因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内故点的轨迹方程为（2）由 解得曲线与轴交于点、由 解得曲线与轴交于点、当，即点为原点时，、与重合，曲线与坐标轴只有一个交点当，且，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点与重合，曲线与坐标轴有两个交点与同理，当，且1，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点与当1,且，即点在椭圆内且不在坐标轴上，曲线与坐标轴有三个交点、与22解（1）由，得N（2）要使，只要0因为4，所以，故只要 因为（），所以 ，又，故要使成立，只能取2或3当时，因为，所以当k时，不成立，从而不成立因为，由,得，所以当时，从而不成立当时，因为，所以当时，不成立，从而不成立因为，又 ，所以当3时，从而不成立故不存在自然数、，使成立
