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1、燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书目录第一章：离散傅立叶变换 1.1 傅立叶变换的定义 . 1 1.2 离散FT(DFT)的用法 . 3第二章：用DFT对信号进行频谱分析 2.1频谱分析的概述 . 4 2.2 MATLAB程序 . 6第三章：吉布斯效应 3.1 吉布斯效应的定义 . 8 3.2 吉布斯效应的实现 . 8 3.3 MATLAB程序 . 11第四章：栅栏效应 4.1 栅栏效应的定义 . 12 4.2 栅栏效应的验证 . 12 4.3 MATLAB程序 . 15第五章：学习心得 . 17第一章 离散傅立叶变换1.1 傅立叶变换的定义 设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率
2、，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。 1. 三角形式的傅里叶级数： 式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得： 2. 指数形式的傅里叶级数： 式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得： 满足狄里赫利条件的周期函数表示成的傅立叶级数都收敛。狄里赫利条件如下： （1）在任何周期内，x(t)必须绝对可积；（2）在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；（3）在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。傅立叶分析: 建立以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的某种关系,在
3、1822年, 由法国科学家 Fourier(1, 2)提出,基本思想: 任意函数可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和, 即频谱分析。离散周期序列的傅里叶级数(DFS)，x(n)=x(n+N)，习惯上： 以上两式称为离散周期序列的傅立叶级数（DFS），在时域周期为NTs、频域的周期Ws = 2/Ts=N W0，并离散。在DFS的基础上, 只对时域和频域取一个周期, 构成离散傅立叶变换对，即DFT：DFT的另一种表示：1.2 离散FT(DFT)的用法对常遇到的非周期序列, 有限长或无限, 只能作DTFT, 即连续频谱, X(), 模拟在计算机上做数值计算,实际中, 把N点序列视为一周期序列的一个周
4、期,再做DFT。n 若x(n)有限, 长度N,n 若x(n)无限, 可用矩形窗截成长度N的序列,X(k)只是x(n)的FT在某种程度上的近似, X(k)是x(n)频谱(DTFT)的抽样值周期信号可以分解成一系列正弦（余弦）信号或虚指数信号之和，即 其中， 或 幅度和相位 为了直观地表示出信号所含各分量的振幅或，随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅或虚指数函数的幅度为纵坐标，画出如图2和图4所示的各谐波的振幅或与角频率的关系图，称为周期信号的幅度（振幅）频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。各谱线顶点连线的曲线（如图中原点所示）称为频谱包络线，它反映了
5、各谐波分量幅度随频率变化的情况。类似地，也可画出各谐波初相角与角频率的关系图，如图3和5中各谐波初相角与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相位谱。如果为实数，那么可用的正负来表示为0或也可把幅度谱和相位谱画在一张图上第二章 用DFT对信号进行频谱分析 2.1频谱分析的概述所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不能直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算，成为分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT进行频谱分析。用DFT进行频谱分析的基本原理和方法：已经知道单位圆上的z变换
6、就是序列的傅里叶变换，即： X（jw）=X（z）|z=jw如果对序列x（n）进行N点DFT，得到X（k），X（k）是在区间0,2上对X（jw）的N点等间隔采样。因DFT有FFT算法，故常用DFT对有限长序列进行谱分析，实施方法如下：首先依据频率分辨率的要求确定DFT变换区间长度 N 。频谱分析的衡量指标之一是频率分辨率，它是频谱分析中能够分辨的两个相邻频率点谱线的最小间距。在数字频率域，N 点DFT能够实现的频率分辨率是2/N 弧度，进行频谱分析时，要求N=2/D （D为要求的分辨率）。为了便于使用FFT，一般取 N= 2M. 接下来计算 N 点 DFT ，并以自变量 k 所对应的数字频率 w
7、k=2/N 为横坐标变量绘制频谱图。用程序运行后得下图：2.2 MATLAB程序：sym t;x=sin(t)+cos(t);figure(1)plot(t,x),grid onxlabel( Time(t);ylabel( x(t);title( 时域信号)n=0:20; %定义序列的长度是20T=0.02;y=sin(n*T)+cos(n*T); figure(2)subplot(2,1,1);stem(n,y),grid onxlabel( n);ylabel( x(n);title(500Hz采样信号);Y=fft(y,16);n1=0:15;omega=2*pi/16*(n1-16/
8、2);subplot(2,1,2);stem(omega,abs(fftshift(Y),grid onxlabel(频率);ylabel(幅值);title(n=20时采样信号的频谱1);n=0:100; %定义序列的长度是100T=0.02;y=sin(n*T)+cos(n*T); figure(3)subplot(2,1,1);stem(n,y),grid onxlabel( n);ylabel( x(n);title(500Hz采样信号);Y=fft(y,128);n1=0:127;omega=2*pi/128*(n1-128/2);subplot(2,1,2);stem(omega,
9、abs(fftshift(Y),grid onxlabel(频率);ylabel(幅值);title(n=100时采样信号的频谱2);第三章 吉布斯效应 3.1 吉布斯效应的定义 在x(t)的不可导点上，如果我们只取x(t)等式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏1。但从信号的傅立叶变换恢复或逼近原信号时，如果原信号包含有间断点，那么，在各间断点处将出现过冲即尖峰，这种现象称为吉布斯现象。 3.2 吉布斯效应的实现吉布斯现象是当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的波形时出现，并能观察。（1）信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，信号波形中所含的频率布
10、斯现象越突出。（2）当截取窗变长时，跳变峰向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所包围的面积减小，通过matlab使这种吉布斯现象得到清楚的表现。模拟信号x（t）=sin(10t)/t 的时域图及其频谱图如下：3.3 MATLAB程序：syms tx=sin(10*t)/t;figure(1);ezplot(x,-2,2)title( 模拟信号的时域图)grid onhold onX=fourier(x);XX=abs(X);figure(2);XX=simple(XX); %寻找最短形式的符号解ezplot(XX,-50,50); %画二维曲线title( 信号的频谱图)grid on
11、hold onts=-3;te=3;n=100;t1=linspace(ts,te,n); %线性等分向量x1=sin(10*t1)./t1;figure(3)plot(t1,x1, r)axis(-4,4,-4,7);title(模拟信号截断后的时域图)grid onX1=abs(fft(x1,128);fs=n/(te-ts);f=(0:length(X1)/2-1)*fs/128*2*pi;figureplot(f,X1(1:length(X1)/2);title( 信号截断后的频谱图)grid on第四章 栅栏效应 4.1 栅栏效应的定义快速傅立叶变换得到的频谱是离散谱，是信号的频谱与
12、一个窗函数的频谱做卷积后，按归一化频率分辨率等间隔频域采样的结果，它只给出频谱在离散点上的值，而无法反映这些点之间的频谱内容，即使在其它点上有重要的峰值也会被忽略。这就好像在百页窗内观察窗外的景色，看到的是百叶窗窗缝内的部分景色，而无法看到被百叶窗遮挡住的部分，这就是栅栏现象。4.2 栅栏效应的验证对于hamming窗截取的序列，由于每个谱线附近的频谱与hamming窗函数的频谱相同，hamming窗函数主瓣占据的带宽为，对应的模拟频率大小为（也就是我们通常说的信号的频谱分辨率）。当两个谱线之间的间隔小于时，两个hamming窗的主瓣开始混叠，原来的两个谱线所对应的两个峰值消失，出现一个新的频
13、谱峰值，即两个谱线被看成一个新的谱线。用MATLAB编程求出函数：xn=sin(100*pi*n*T)+sin(200*pi*n*T)+cos(150*pi*n*T)+cos(220*pi*n*T); 的时域图，抽样频率为500 Hz，抽样点数为20，再绘出其频谱图，用hamming窗对其截断，改变窗的大小，我们可以看到不同的谱线。在此，程序中用四种不同大小的hamming窗截取。原信号时域如下图：用大小为N（即20）和大小为4N的hamming窗截取时其频谱图如下：第一个图中只有2个谱线对应的峰值，而第二个图中却有六个谱线对应的峰值，也就是说原来有三个谱线对应的三个峰值消失，出现了一个新的峰值，即把三个谱线看成一个谱线。下面我们用8N和16N的hamming窗再一次对信号进行截断，观察其谱线的个数。从图中我们可以发现谱线个数变成了8条，比前两
