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1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异
2、面直线。2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图： 3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-ABCD中， BBAA，DDAA， BB与DD
3、平行吗？生：平行。 再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线=acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：连接BD因为EH是ABD的中位线，所以EHBD且EH=BD 同理FGBD且FG=BD因为EHFG且EH=FG所以四边形 EFGH是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH
4、是什么图形？4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：ADC = ADC，ADC + ABC = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线aa、bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。（2）强调： a与b所成
5、的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1, （1） 哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？（2） 哪些棱所在的直线与AA1垂直？解析：考察异面直线的理解解：（1）棱AD.DC.CC1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线（2）直线AB.BC.CD.DA.A1
6、B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直变式：在正方体ABCD-ABCD的所有棱中，与BD成异面直线的有 _ 条。（6条）【板书设计】一、空间中两条直线的位置关系二、异面直线所成角三、例题例1变式1例2变式2 【作业布置】P49 1、2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课前预习学案一预习目标：明确直线间的位置关系 二预习内容：2.1.2课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一 学习目标 （1）了解空间中两条直线的位置关系；（
7、2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。学习难点：异面直线所成角的计算。二 学习过程 1 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线aa、bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。（2）强调： a与b
8、所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,（1） 哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？（2） 哪
9、些棱所在的直线与AA1垂直？变式：在正方体ABCD-ABCD的所有棱中，与BD成异面直线的有 _ 条。（6条）课后练习与提高一选择题1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条A 1 B2 C无数 D以上都不对EAFBCMND2.两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB与CD（ ） A 垂直 B平行 C相交 D以上都不对3右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）二填空题4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为_5. 空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角为_三解答题6. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇
