《定义、命题与证明.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定义、命题与证明.doc（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识点一：定义与命题在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.2、“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.3、“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.4、“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.5、“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.综上：定义就是对名称和术语的含义加以描述
2、，作出明确的规定做一做：如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.图66如果B处工厂排放污水，那么_处便会受到污染；如果C处受到污染，那么_处便受到污染；如果E处受到污染，那么_处便受到污染；如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流.在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。如：熊猫没有翅膀。对顶角相等。类比举例：1、两直线平行，内错角相等.2、无论
3、n为任意的自然数，式子n2n+11的值都是质数.3、内错角相等.4、任意一个三角形都有一个直角.5、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.综上：命题一般由条件和结论两部分组成，一般可以写成：“如果,那么”的形式，如果开始的部分是条件，那么后面的部分是结论；命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？ 作线段AB=a. 平行用符号“”表示.这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.知识点2：证明一、证明的必要性1、已知；如下图，ab，bc直线a，b平行吗?(1)请你先通过观察作
4、出判断.你能肯定自己的判断正确吗?(2)在图243(1)中，再作一条直线l，使直线l与直线a，b，c都相交，如图243(2).用量角器测量1和2，根据1和2的大小关系，你能判定“a与b平行”这一结论正确吗?2、当n=1时，(n25n5)2=1；当n=2时，(n25n5)2=1；当n3时，(n25n5)2=1.由此归纳得出：当n取任意正整数时，(n25n5)2的值都是1.你认为这个命题正确吗?为什么?3、如果ab，那么a2=b2.由此类比猜想得出：当ab时，a2b2，你认为这个命题正确吗?为什么?1.(1)ab，不能， (2)由1=2，能判断ab2.不正确.当n5时，(n25n5)225.3.不
5、正确，因为01，但02(1)2，以上事例说明，我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题.但是，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断.这个推理的过程叫做命题的证明(proof).我们把经过证明的真命题叫做定理(theorem).经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫做公理(axiom).如“过平面上两点，有且只有一条直线”就是一个公理.等式和不等式的性质也可以看做公理.证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理论证的依据.典型例题例1、已知：如图，点C，D在线段A
6、B上，点C是AD的中点，点D是CB的中点.求证：AD=CB.分析：由“点C是AD的中点，点D是CB的中点”，可以得到AC=CD=DB，进而可以得到AD=CB.证明：因为 点C是线段AD的中点(已知)，所以 AC=CD(线段中点的定义).因为点D是线段CB的中点(已知)，所以CD=DB(线段中点的定义).所以AC=DB(等量代换).所以AC+CD=DB+CD(等式的性质).即AD=CB.注：在等式或不等式中，一个量可以用与它相等的量来代替，这叫做“等量代换”.在上面的证明过程中，我们根据的都是定义、性质和已知条件.在叙述中经常用到“因为”和“所以”这两个词，为了方便，今后，我们在证明时用符号“”
7、表示“因为”，用符号“”表示“所以”.二、命题证明的格式和步骤. （明是推理论证命题的过程，要步步有据。）例1：如图，直线AB和CD相交于点O.求证：12.分析：观察图，我们发现1，2都是AOD(或COB)的补角，由此便可得到1=2.证明：1AOD=l80(平角的定义)，2+AOD=180(平角的定义)，1+AOD2+AOD(等量代换)，1=2(等式的性质).一般地，证明一个几何命题有如下步骤，做一做1、是证明“同角(或等角)的余角相等”的过程，请你在括号内填写各步推理的依据.已知：1+=90，2+90.求证：12.证明：1+=90( )，1= 90( ). 2+90( )，2= 90( ).
8、12 ( ). 依次为：已知，等式的性质，已知，等式的性质，等量代换.2、括号内填上推理的依据.已知：如图，ABC=ABC，1=2.求证：3=4.证明，ABC=ABC，1=2 ( )，ABC1=ABC2（ ）.又3=ABC1，4=ABC2，3=4（ ）.答案已知，等式的性质，等量代换.2.已知：如图，直线EF和AB交于点D，BADE=180.求证EFBC.小亮在证明这个问题时是这样思考的，要证EFBC，只需证B=ADF，而ADEADF=180，BADE=180，所以B=ADF，此题可证.请按小亮的思路，写出证明过程. 答案BADE=180 (已知)，B =180ADE (等式的性质).ADEA
9、DF=180 (平角的定义)，ADF =180ADE （等式的性质).B =ADF (等量代换).EFBC(同位角相等，两直线平行).反证法：已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB EF，CD EF，求证：AB CD。证明：假设ABCD,那么AB与CD一定相交于一点PAB EF，CD EF（已知）过点P有两条直线AB， CD都与直线EF平行。这与“经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行”矛盾。AB CD不能成立。AB CD反证法的一般步骤：1.反设（否定结论）；2.归谬（利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾）；3.写出结论（肯
10、定原命题成立）。课堂作业：一、把下列命题写成“如果，那么”的形式，并指出条件和结论（1）全等三角形的对应角相等；（2）等角的补角相等；（3）同圆或等圆的半径相等；（4）自然数必为有理数；（5）同角的余角相等；二、试描述下列概念的定义，指出定义中所包含的充要条件：（1）偶数；（2）方程；（3）集合；（4）锐角；（5）直角；（6）钝角；（7）角平分线；（8）平行线三、判断下列命题是真命题还是假命题（1）若|a|=|b|，则a=b;（2）若a=b，则a3=b3;（3）若x=a，则x2(a+b)x+ab=0;（4）如果a2=ab,则a=b;（5）若在ABC和ABC中，A=A，B=B，C=C，则ABCA
11、BC（6）若x3，则x2四、写出下列命题的条件及结论（1）等角的余角相等；（2）等角的补角相等；（3）两直线平行，同位角相等；（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点课后作业一、选择题(每小题3分，共24分) 1下列说法错误的是 ( ) A同位角不一定相等 B内错角都相等 C同旁内角可能相等 D同旁内角互补，则两直线平行 2下列语句中，不是命题的是 ( ) A若两角之和为90，则这两个角互余；B同角的余角相等 C画线段的中垂线 D相等的角是对顶角 3以下可以用来证明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是 ( ) A9 B15 C5 D15在ABC中，A=36，AB=AC，DE是AB的
12、垂直平分线，交AC于点E则下列结论错误的是 ( ) AADEBCE BDBE=36 CBE=BC DAE=BE6如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是 ( ) A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D直角或锐角三角形7如图，MAN=15，AB=BC=CD=DE=EF，则FEM等于 ( )A60。 B70。C75。 D90。8有长分别为3 cm和4 cm的两根木条，现要找一根木条，使三根木条能作一个钝角三角形，那么第三根木条应选( )A6 cm B5 cm C4 cm D3 cm二、填空题(每小题3分，共24分) 9若ABC的内角之比为2：3：4，则最小角是 10等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是 11把“同角的补角相等”写成“如果那么”形式： 12命题“ab”的反面是 13直角三角形两锐角平分线所夹的钝角为 度 14假命题“内错角相等”成立的条件是 15如图，要在RtABC中，C=90，AE=DE，AD=BD，EAC=60，则B= 16两边长为3和4的直角三角形，斜边
