第七节 无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （为常数，为自然数）可见对于取不同数时，与趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若，就说是比高阶的无穷小，记为；(ii) 若，，就说是比低阶的无穷小；(iii) 若，，就说是比同阶的无穷小；(iv) 若，就说与是等价无穷小，记为例1】 当时，是的高阶无穷小，即；反之是的低阶无穷小； 与是同阶无穷小；与是等价无穷小，即注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即； 4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么。
例2】 求解：因为当时，所以 例3】 求解：因为当时，， 所以 原式7：在目前，常用当时，等价无穷小有：；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！二、课堂练习：三、布置作业：第七节 无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （为常数，为自然数）可见对于取不同数时，与趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，(v) 若，就说是比高阶的无穷小，记为；(vi) 若，，就说是比低阶的无穷小；(vii) 若，，就说是比同阶的无穷小；(viii) 若，就说与是等价无穷小，记为例1】 当时，是的高阶无穷小，即；反之是的低阶无穷小； 与是同阶无穷小；与是等价无穷小，即注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即； 4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么。
例2】 求解：因为当时，所以 例3】 求解：因为当时，， 所以 原式7：在目前，常用当时，等价无穷小有：；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！二、课堂练习：三、布置作业： 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的：使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性；并会应用函数的连续性求函数的极限 教学重点：应用函数的连续性求函数的极限 教学过程： 一、复习函数的连续性定义、间断点的分类 二、讲解新课：（一）连续函数的运算定理1(连续函数的四则运算法则)：若均在连续，则及（要求）都在连续定理2（反函数的连续性）：如果在区间上单值，单增（减），且连续，那么其反函数也在对应的区间上单值，单增（减），且连续注1：亦为的反函数，如上知：在上有上述性质定理3：设当时的极限存在且等于，即，又设在处连续，那么，当时，复合函数的极限存在，且等于，即注2：可类似讨论时的情形定理4：设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函数在点处连续注3：定理3、4说明与的次序可交换注4：在定理3中代入，即得定理4。
例1】 由于（为正整数）在上严格单调且连续，由定理2，其反函数 在上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数（为正整数）在定义上是连续的例2】求解：因为，及在点连续，故由定理3，原式二） 初等函数的连续性我们已知道在其定义域内是连续的，由定理2知和在其定义域也是连续的可证明指数函数，在其定义域内是严格单调且连续的，进而有对数函数在其定义域是连续的又（为常数），由定理4知：在内是连续的，当取有理数时，见例1，总之在定义域内是连续的综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的注1：定义区间为包含在定义域内的区间； 2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限例3】 三、课堂练习：四、布置作业：6。