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1、练习2 时间、空间与运动学2.5 已知质点沿x轴的运动方程x = f ( t) , 怎样求其位移和路程? 现有一质点按x = 3 t 2 - t 3 m 的规律运动。试求:(1) 画出xt 图;(2) 最初4s 内的位移;(3) 最初4s 内的路程。分析与解答 在直线运动中，当确定了坐标x的正方向后，位移可由始、末两点的坐标之差来计算，即，其数值只与始末位置有关，并且可以是正值（位移与x轴正方向相同），也可以是负值（位移方向与x轴正方向相反）；而路程是质点所走过路径的长度，它不仅与始末位置有关，而且与实际路径有关，并且总是正值。一般来说只有在单向直线运动中（无反向点）两者数值相同，但在有反向的
2、直线运动中，两者数值就不相同了。（1）各时刻的数值如表所示。t/s01234x/m0240-16v/(m.s-1)030-9-24a/(m.s-2)60-6-12-18则xt曲线如题2.5图所示。（2）最初4s是指从t=0到t=4s的时间间隔，其位移为式中负号表示位移的方向与x轴正方向相反。若写成矢量式为(3)求路程时，应首先看有无速度反向点，若有，应求出速度反向的时刻和位置。由 令v=0，得t=2s,此时刻 v=0,a=-12,即为反向点。此时的位置。则最初4s内的路程 由以上计算表明：位移与路程是两个不同的概念。2.9 通过阅读、研究本章例题, 小结一下求解平均速度与瞬时速度的方法。今有一
3、质点沿y 轴的运动方程为y = 10 - 5 t2 m, 试求:( 1) 1s1.1s,1s1.01s,1s1.000 01s 各时间间隔的平均速度;( 2) 当t = 1s 时的速度;( 3) 通过上述计算, 如何领会瞬时速度和平均速度的关系与区别?( 4) 求t = 1s 时的加速度, 并分析该质点的运动情况;( 5) 本题能不能用来计算平均速度? 为什么?分析与解答：（1）按平均速度的定义，因此，欲求 ，必须求出。为此，设时刻 时刻 两式相减，得 故平均速度为 则各时间间隔内的平均速度分别为 （负号表示沿-j方向）（2）由题意，故由时的速度为 （方向沿方向）或 （3）通过以上计算，可知平
4、均速度与时间间隔有关，不同的时间段内的平均速度是不同的，但当时间间隔越小时，平均速度就越趋近于瞬时速度。（4）同理可求出时的加速度为 或 由加速度和速度表达式可知：加速度是恒为负常数，在的情况下，速度值也恒为负值，且时，因此该质点从处由静止开始沿轴负方向作匀加速直线运动。（5）平均速度只适用于匀变速直线运动（即为常数），若不等于常数，就不能用此式来计算平均速度了。2.11 一质点在xOy 平面上运动,运动方程为x = 5 t + 3,式中t 以s 计，x、y 以m 计。(1) 以时间t为变量, 写出质点位置矢量的表示式;(2) 描画质点的运动轨迹;(3) 求出t = 1s 时刻和t = 2s
5、时刻的位置矢量和这段时间内质点的位移;(4) 求出质点速度的分量表示式, 计算t = 4s 时质点速度的大小和方向;(5) 求出质点加速度的分量表示式,计算t=4s 时质点加速度的大小和方向。分析与解答 （1） m（2）轨迹方程为 （3） m; m; m的(4) 则t=4s时， （5） 则t=4s时，（沿y轴正方向）2.16 一张CD光盘音轨区域的内半径= 2.2cm,外半径为= 5.6cm,径向音轨密度为n= 650条/mm。在CD 唱机内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动(扫描)一条音轨,激光束相对于光盘是以v =1.3m/s 的恒定速率运动的。试问:(1) 这张光盘的全部放音时间是多少
6、?(2) 当激光束到达离盘心r = 5cm 处时, 光盘转动的角速度和角加速度各是多少?分析与解答 (1)光盘上的音轨是一条间距很小的螺旋线(即阿基米德螺线)。为此，求其总长度时，可先求距光盘中心为r，宽度为dr内的音轨长度dl，即 激光束扫过dl所需时间dt为 故光盘的全部放音时间t为（2）由得r=5.0cm处的为2.18 一水手在静水中能以v = 1.10m/s 的速度划船前进。今欲横渡一条宽为1000m, 水流速度u = 0.55m/s 的长江河段。试问:(1) 他若要从出发点A 横渡, 并到达正对岸的B 点, 他应如何确定划行方向? 到达正对岸需要多少时间?(2) 在划速不变的情况下,
7、 如果希望用最短的时间过江, 他应如何确定划行方向? 船到达对岸的位置在何处?分析与解答（1）根据题设条件，选船为研究对象（物），岸为静止参考系S，水为动参考系. 船对岸的绝对速度船为，水对岸的牵连速度为u，则船对水的相对速度应满足 要使船能到达正对岸的B点，则必须使的方向垂直于对岸(即沿A-B的方向)，于是，船的滑行方向就必须沿与V成角的方向才行。即 船到达B点所需的时间为 （2）要使船过江所用的时间最短，在划速V不变的情况下，必须使有最大值。显然，此时。则船过江的最短时间为设船到达下游的C点，则 m2.23 已知质点在xOy 平面上的运动方程为, 试求:( 1) 质点的运动轨迹;( 2)
8、t 时刻的速度v ;( 3) t 时刻的加速度a。分析与解答（1）已知 则，质点的运动轨迹为半径R=1的圆周。2.24 质点沿x 轴正向运动, 加速度与速度成正比, 且方向相反, 即a = - kv, k为常量, 设t = 0 时, , 试求:( 1) 质点的速度v( t) , 并加以讨论;( 2) 质点的运动方程x( t)。分析与解答（1）质点作直线运动时 得 积分并代入上、下限后得 整理得 由上式可知：速度v随时间t按指数规律衰减，即质点沿x轴正向作变减速运动。（2）由 得 积分并整理得 由上式可知，质点运动的最远位置为2.25 质点在x 方向运动, 已知速度v = 8 + (SI) ,
9、当t = 8 s 时, 质点在原点左边52m 处。试求:( 1) 质点的加速度和运动方程;( 2) 初速度和初位置;( 3) 分析质点的运动性质。分析与解答（1）加速度 由 得 积分得 运动方程为 （2）当t=0时，（3）在t0时，故质点从原点左侧628m处，以初速度，沿x轴正方向（向右）作变加速运动。练习3 牛顿运动定律3. 10 在一只半径为R 的半球形碗内, 有一粒质量为m 的小钢球, 沿碗的内壁作匀速圆周运动。试求: 当小钢球的角速度为时, 它距碗底的高度h 为多少?分析与解答 取小球为隔离体，受重力和支承力（如图？）。其中，沿x轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。有 且 解得 可
10、见，h随的增大而增大。3. 13质量为m 的物体在黏性介质中由静止开始下落, 介质阻力与速度成正比, 即= v,为常量。试( 1) 写出物体的牛顿运动方程。( 2) 求速度随时间的变化关系。( 3) 其最大下落速度为多少?( 4) 分析物体全程的运动情况。分析与解答 （1）物体受向下的重力mg和向上的阻力F，则牛顿运动方程为 （2）由 分离变量并积分 得 -整理后得 （3）当时，有最大下落速度 （4）由有 得 物体由静止开始向下作加速运动，并逐渐趋近于最大速度为，此后趋于做匀速运动，物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。3.15质量为m的小球从点A由静止出发，沿半径为r的光滑圆轨道运动到点C（
11、见图），求此时小球的角速度和小球对圆轨道的作用力。分析与解答 取小球为隔离体，受力情况如图。取自然坐标系，由牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为- 由于，代入式并分离变量后积分得 则小球在c点的角速度为 将式代入式，得 其反作用力即为小球对轨道的作用力。3.16 如图所示，在密度为的液体上方有一悬挂的长为L，密度为的均匀直棒，棒的下方恰与液面接触。今剪断挂线，棒在重力P和浮力F 作用下竖直下沉, 若 , 求棒下落过程中的最大速度。 分析与解答 按题设条件，剪断细线后，杆在下沉过程只受重力和浮力的作用（不计液体的黏滞阻力），随着杆往下沉，浮力逐渐增大，当重力和浮力相等时，杆下沉的加速度a=0
12、,此时速度最大。取x坐标向下如图，根据牛顿第二定律，有 式中，浮力，故式可写成 对式分离变量并积分，有得 设杆的速度最大时，杆进入液体的长度为x=l,则式 中的v即为最大速度。此时mg=F,即得 将式代入式，得杆的最大速度为 练习4 守恒定律4.4 高空作业时系安全带是 非 常 必 要 的，假 如 一 质 量 为 51.0kg的 人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。知此时人离原处的距离为 2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。分析与解答 可以对全过程和冲撞过程利用动量定理求解。安全带对人的平均冲力为，重力为。(1) 对全过程
13、和冲撞过程利用动量定理安全带对人的平均冲力为，作用时间为；重力为，作用时间为。由动量定理，得(2) 对冲撞过程利用动量定理安全带对人的平均冲力为，重力为。冲撞前人的下落速度为 m/s，由动量定理，得4.10 如图所示, 一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮, 两端分别拴有质量为m 和M 的物体A, B, 且M稍大于m。物体B 静止在地面上, 当物体A 自由下落h距离后, 绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时, 两物体的速度及B 能上升的最大高度。质点的动量矩定理、动量矩守恒定律分析与解答 把整个过程分成三个阶段来处理。第一阶段物体A自由下落。物体A自由下落h 距离时，正好拉紧绳子，此时物体A的速度为，方向向下。第二阶段，绳子被拉紧，物体A和物体B同时受到绳子的冲力作用。经过极短时间t 后，以共同的速度V运动，此时，物体的受
