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1、第五章线弹性断裂力学 5.1引言断裂力学是从材料强度问题提出的。随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度t 。例如， Orowan(1949) 得到t E / 2 , Zhurkov （1957）得到 t E 。其中 E 为杨氏模量。但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度 , 两者往往相差几个数量级。这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。而对于缺陷如何定量地影响材料的强度，直到断裂力学的产生，
2、才得到较明显的进展。 4.2 介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。 当拉伸应力 垂直于椭圆长轴时， 长轴端点处的环向应力最大。由 4.2 可得max12a /b(5.1)又椭圆长轴端点处的曲率半径为b2 / a , 因此 (5.1)又可以改写成max12 a /(5.2)因而应力集中系数为12a /(5.3)当 很小时， 很大。当 b0 时，椭圆孔就退化为长为2a 的直线裂纹。 更一般的提法是0 。按上述计算公式得到。这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。Griffith 没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为(参看 5.4)Wc
3、2 a2 / E(5.4)为简便起见，设板的厚度为1. 其中 E 为杨氏弹性模量。由于裂纹的出现，增加的表面能为：S4a(5.5)其中 为单位面积的表面能。 Griffith认为当裂纹端部扩展一小段长度da（裂纹长度从 2a 2a+ 2da）时，弹性势能的释放率dWc/da，如果大于或等于表面能的增加率dS/da，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dWcdS(5.6)dada将 (5.4)， (5.6)代入上式，得临界应力 g 为：g2E/a(平面应力 )(5.7)2E/a(12 )(平面应变 )g其中 E、 是材料常数。上式最引人注目这之点在于g 不仅与材料性质
4、有关，而且与裂纹长度有密切关系。它预言对于同一种材料，如果a 不同， g 也不同，但 ga 应该为常数。为了验证自己的理论，格里菲斯进一步做了实验。他用玻璃管及玻璃球作内压实验，用金刚钻在试件上刻划出不同长度的人为刻痕（预制裂纹） ，用实验测出对于不同裂纹长度的临界应力，其实验结果与理论预言符合是令人满意的。Griffith的工作从思想方法上看，在两点上突破了以往连续介质力学中研究材料强度时的传统观念： (A) Griffith理论则建立在普遍适用的能量概念的基础上。(B) 以整个包含裂纹的物体作为49研究对象，突破了传统的局部分析方法。Griffith 被认为是断裂力学的开创人。Griffi
5、th 的工作建立在弹性力学的基础上，因此只适用于所谓“理想脆性材料”，即材料直到断裂之前，应力应变关系仍是弹性的。这种破坏情况称之为脆性断裂，简称脆断。由于在当时的生产力水平条件下（如工程上多使用强度较低的韧性材料），发生脆断事故的情况不多，所以 Griffith 的工作在长达几十年的时间里没有受到足够的重视。随着生产与科学技术的发展，新的高强度钢，超高强度钢被研制出来并得到广泛使用。再加上机械与设备的大型化，焊接工艺的大量使用，工作条件的复杂多样化（低温、原子辐射、化学腐蚀等） 各种原因， 工程上发生了一系列所谓低应力脆断事故。（即工作应力低于屈服应力时发生的脆性断裂）。直接导致断裂力学诞生
6、的，是1950 年美国北极星导弹发动机壳试验时发生的爆炸事件。 试验爆炸时的工作应力只有700 兆帕，远远低于其屈服应力1600 兆帕。事故发生后美国国防部建议美国材料试验学会(ASTM) 及美国国家宇航局(NASA) 组织专门的机构研究断裂力学。Irwin 与 Orowan 研究了材料的塑性对裂纹扩展的影响，建议将Griffith 公式：g2E/ a修改为g2E(p ) /a(5.8)其中 p 为塑性功。根据低碳钢实验结果估计p 比 大三个数量级以上。Sneddon(1946)从数学力学出发， 证明了裂纹前缘的应力分量具有r 1 / 2 阶的奇异性。 Irwin(1957)提出了应力强度因子
7、的概念。这个概念在断裂力学中占有重要地位。断裂韧性测试技术也随之建立和发展起来。至此线弹性断裂力学已奠定了坚实的基础。在六十、七十年代里断裂力学得到飞速的发展。Dugdale(1960) 得出考虑裂纹尖端塑性区的带状模型。Wells(1961) 提出了裂纹顶端张开位移准则。 Rice(1968) 提出用 J 积分作为断裂扩展的判据。Rice，罗森兰和 Atkinson 几乎同时于 1968年得到了硬化材料中裂纹端部弹塑性应力渐近近似解(通常称为 R. H. H. 解 )。上述代表性的工作标志着弹塑性断裂力学取得了相当的进展，但是比之线弹性断裂力学，仍然存在不少根本性的有待解决的问题。在断裂动力
8、学方面，莫特 (1948) 将动能项引入Griffith 理论的能量判据中，但实质上仍然是准静态问题。 Broburg (1960) 得到了裂纹匀速扩展的解。Yoffe(1951) 计算了一个匀速扩展但后面不断愈合的裂纹问题。薛昌明(G.C.Sih)、 Kostrov(1966,1975) 及 Fruend(1972) 等人的工作进一步丰富了这个领域。范天佑 (1990)详细介绍了断裂动力学的基本理论，并作出了补充和发展。Dmowska和Rice(1983) 详细综述了断裂力学理论及其在地震学中的应用。 5.2 柯洛索夫 Muskhelishvili 应力函数为了进一步深入分析断裂力学的有关问
9、题，首先必须研究裂纹端部的应力场与位移场。6.2.1 裂纹的三种基本类型Irwin 将简单裂纹分为三种类型( 图 6.1)。 I 型裂纹代表在垂直于裂纹面的拉应力作用下，裂纹表面位移垂直于裂纹面的情况，所以又称之为张开型。II 型及 III 型裂纹代表在剪应力作用下，裂纹表面互相滑移的情形，称之为剪切型裂纹。其中II 型裂纹称为面内剪切型裂纹；III 型裂纹称之为面外剪切型或反平面裂纹。更复杂的裂纹，可以由这几种简单裂纹组合而成，称之为复合型裂纹。复合型裂纹在第六章中讨论。在工程中， I 型裂纹最重要。因此， I 型裂纹也研究得最充分。在地学中，剪切型裂纹则具有特殊重要的意义。50图 6.1裂
10、纹的三种基本类型(图中箭头表示相对运动方向)5.2.2 柯洛索夫 Muskhelishvili 函数分析裂纹端部的应力场与位移场有许多种数学方法，这里我们只介绍复变函数方法。在第五章中，我们已经介绍了平面弹性力学问题和复变函数解法。以下就 I 型和 II 型两种基本裂纹进行讨论。5.2.1.1I 型裂纹讨论如图5.2 中所示的问题。一无限大平板，板内有一长为2a 的穿透裂纹，边缘受到分布力xx0 ，yyy ，xy0 的作用。本问题即为Griffith 所研究过的单轴拉伸的例子图 6.2 单向拉伸的中心穿透裂纹本问题的边界条件如下：当 |z|，xx0 ，yyyxy0(5.9)在裂纹表面上 (y=
11、 0, |x|a ),yy0 ,xy0(5.10)利用 z( ) a(1) / 2 ，把 z 平面上的裂纹变换为平面上的单位圆 (参见 4.3- 4.6)。利用向圆变换(Muskhelishvili, 1953) ，可得其解为：yzy ( z)z2a242a 2yzy ( z)z2a23 / 222代入柯洛索夫公式，当z，xxyyz4 Re( z) zy yyxx2ixy z2 z( z)( z) zy虚部为xy |z0(5.11)(1)(2)51实部为(yyxx ) zy(3)(2), (3) 联立，得xx0 ，yyy。证明无穷远处边界条件已经满足。于裂纹面上 ( y0,| x |a ),xxyy4 Re ( z)y(4)yyxx2ixy 2 z( z)( z)y(5)虚部为xy |0实部为(yyxx )y(6)(4), (6) 联立，得yy0 , 可见内边界条件也是满足的。(a)(b)(c)图 5.3不难看出，若xx0 ，全部问题
