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1、【2013年中考攻略】专题16：函数自变量取值范围的探讨函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题。初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从这三方面进行函数自变量取值范围的探讨：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。一、函数关系式中函数自变量的取值范围：
2、初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0。典型例题：例1： （2012浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】ABCD【答案】D。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心
3、圆点表示。根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故在数轴上表示为：。故选D。例2：（2012湖南郴州3分）函数y= 中自变量x的取值范围是【 】Ax=2 Bx2 Cx2 Dx2【答案】B。【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。例3：（2012湖南衡阳3分）函数中自变量x的取值范围是【 】Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【答案】A。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解
4、析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选A。例5：（2012四川内江3分）函数的图像在【 】 A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限【答案】A。【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。【分析】函数的定义域为，根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。练习题：1. （2012湖南怀化3分）在函数中，自变量的取值范围是【 】 A B. C. D.2. （2012山东威海3分）函数的自变量x的取值范围是【 】A. x3 B. x3 C. x3 D. x33. （
5、2012四川德阳3分）使代数式有意义的x的取值范围是【 】A. B. C.且 D.一切实数4. （2012江苏无锡2分）函数中自变量x的取值范围是 5. （2012四川自贡4分）函数中，自变量x的取值范围是 二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。典型例题：例1： （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（1
6、）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量（注：总成本=每吨的成本生产数量）【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。y关于x的函数解析式为y=x+11（10x50）。（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。该产品的生产数量为40吨。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当
7、生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。（2）根据总成本=每吨的成本生产数量，利用（1）中所求得出即可。例2：（2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：服装名称西服休闲服衬衣工时/件收入（百元）/件321设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。（1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。（2） 求y与x之间的函数关系式。（3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收
8、入最高？最高总收入是多少？【答案】解：（1）从件数方面：z=360xy， 从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=4802xy。（2）由（1）得360xy=4802xy，整理得：y=3603x。（3）由题意得总收入s=3x2yz=3x2（3603x）2x=x720由题意得，解得30x120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。（2）由（1）整理得：y=3603x
9、。（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，解得30x120，从而根据一次函数的性质作答。例3：（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开
10、发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0x10时，y=（30002400）x=600x；当10x50时，y=300010（x10）2400x，即y=10x2+
11、700x；当x50时，y=（26002400）x=200x。（3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为300010（x10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。例4：（2012四川巴中9分
12、）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（6050x）元，总销量为：（200-10x）件，商品利润为：y=（6050x）（20010x）=10x2100x2000。原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，0x12。（2）y=1
13、0x2100x2000=10（x5）2+2250，当x=5时，最大月利润y=2250。答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。例5：（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设
14、每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元. （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围. （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】解：（1）依题意得自变量x的取值范围是：0x10且x为正整数。（2）当y=2520时，得，解得x1=2,x2=11（不合题意，舍去）。 当x=2时，30+x=32。 每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。 （3） a=-100 当x=6.5时，y有最大值为2722.5 。 0x10且x为正整数，当x=6时，30+x=36,y=2720， 当x=7时，30+x=37,y=2720。每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是2720元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】（1）根据销售利润=销售量销售单价即可得y与x的函数关系式。因为x为正整数，所以x0；因为每件玩具售价不能高于40元，所以x4030=
