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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文连续的条件作者：高涛 指导老师：杨翠摘要 本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数连续与一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数连续和一致连续的方法推广到了二元函数，使大家对函数连续和一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词 函数 连续 连续函数1 引言 我们知道,函数的连续性是数学分析课程中的一个重要的内容.函数在某区间内连续,是指函数在该区间内每一点都连续,它反映函数在该区间上某一点附近的局部性质,从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线,我们不能满足于
2、这种直观的认识,因此,本文给出函数连续性的精确定义,以及函数连续的条件,并拓展到二元函数的连续性使大家对函数连续性的内涵有更全面的理解和认识.2一元函数在一点的连续性定义1 设函数在某内有定，,若，则称在连续.为引入函数在点连续的另一种表达，记 ，称为自变量（在点）的增量或改变量.设，相应的函数（在点）的增量记为引入增量概念之后，易见“函数在点连续”等价于.由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用方法来叙述，即：若任给的，存在，使得当是有，则称函数在点连续.一元函数在一点连续的充要条件定理2.1 函数在点连续的充要条件是：在点既是右连续，又是左连续，即：，一元函数在一点连续的充
3、分条件定理2.2若函数在点可导，则 在点连续.证明 在可导,，可知 且，可得所以又由函数连续的定义可知 在点连续3一元函数在区间上连续的定义定义2 若函数在区间的每一点都连续，则称为上的连续函数一元函数区间端点的定义.定理3.1若函数在开区间上连续，则在点处右连续，在点处左连续，若在半开半闭区间上连续，则在点处连续，在点处左连续.一元函数区间连续的充分条件定义3设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续.定理3.2若函数在区间上一致连续，则函数在区间上连续，反之不成立.证明 采用反证法,假设 在上非一致连续,即对,在区间内至少存在两点 及 , 虽
4、然 ,但 .现取 ,那么在内存在两点 及 . 虽然,但 .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列中存在一个收敛的子列 ,这里, ，再由于 , 所以,亦即 .因为 ,所以 ,并且 对一切 成立.另一方面,由于 在 连续,亦即.由函数极限与数列极限的关系,有.而 .这同 对一切 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立. 函数为简单函数可知其在区间上连续，但不一致连续可取，对无论多么小的正数，只要取与，则虽有，但，所以在内不一致连续，即反之不成立.几种常用的一致连续的方法定理3.3（康托定理） 若函数在上连续，则在上一致连续.这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定
5、理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。分析：由函数一致连续的实质知，要证在上一致连续，即是要证对，可以分区间成有限多个小区间，使得在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于。证明：若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间。将二等分为 、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为 、依同样的方法取定其一，记为；.如此继续下去，就得到一个闭区间套，n=1，2， ，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足 （3-31）且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是， 当时,就有 。 又由（3-31）式，于是我们可取充分大的k，使,从而对于
6、上任意点，都有。因此，对于上的任意两点， 由（3-32）都有 。 这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证。定理3.4 函数在内一致连续在连续，且与都存在。证明： 若在内一致连续，则对，当时，有 ， 于是当时，有。 根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在连续，与都存在。 若在连续，且和都存在，则令 于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。推论 在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在。定理3.5 若函数在区间上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使得对都有 成立，则在区间上一致连续。证明：因为函数在区
7、间上满足Lipschitz条件，即，有，于是对，取，只要，就有。故函数在区间上一致连续。定理3.6 函数在区间上一致连续，只要， 就有 。 证明： 由在上一致连续知，使得，只要，就有 。 又，知，对上述存在，有 ， 从而对有 ， 即 。 若不然，则必存在，虽然， 但是 。 显然 ， 但是 。 推出矛盾，故在一致连续。定理3.7设函数,在有界区间上一致连续，则在有界区间上一致连续.证明： ,在有界区间上一致连续 ,有界令，且由一致可得，当时，有， ，当时，有，取 ， 当，有 。 故在有界区间上一致连续。定理3.8 函数在 上一致连续,又在上一致连续, .用定义证明：在 上一致连续.证明由在一致连
8、续,故,使当,且 时,有 (i)同理,在上一致连续,对上述,存在,使当 ,且 时,有 (ii)令 ,则对 ,当 且 时,（1）若由（i）式有（2）若,由（ii）式也有（3）若时,则所以 .从而得证 在 上一致连续.4二元函数在一点和区间的连续性定义4 设为定义在区域上的二元函数，（它或者是的聚点，或者是的孤立点）。若即对，使得当 时，有 ， 则称函数 关于区域在点连续。若二元函数在区域上任意一点都连续，则称在区域上连续。定义5函数在区域上，如果对，（仅与有关），当且时，有， 则称函数在上一致连续。定理4.1（一致连续性定理） 若函数 在有界闭区域上连续，则 在上一致连续。证明：致密性定理：假设
9、在上不一致连续，则 ，使得，但 。 令（），在中总能找到相应的，使得，但 。 在有界闭区域中由致密性定理有，平面点列 必有收敛子列 ，且。同时由 ， 得 。最后，由，有 。 令，由二元函数 在的连续性及数列极限的保不等式性，得 ， 从而推出矛盾。故在上一致连续。定理4.2 二元函数在有界开区域上在上连续且存在（其中表的边界）。证明： 二元函数在有界开区域上一致连续，则必然在上连续，下面证明存在。（1） 由二元函数在有界开区域上一致连续，则，当时，就有 。 对，则。任取，则 ，且。 于是对上述，当时，有 ， 从而 。 由柯西收敛准则知存在。（2） 若且 ， 则由（1）有与都存在。于是，对上述，使得当时，有 且， 从而当时，有 。 所以 ， 即 。 结合、，由归结原则得存在。 令 则对（表示的闭包），有。当时，由为开区域知：，当时。因为在连续，所以 ， 故在连续。当时，有 ， 其中为中趋于的点列。对中任一趋于的点列，由存在，有 。 由归结原则知 ， 所以在连续。综上所述，在上连续，从而一致连续。定理4.3 二元函数在区域上一致连续对，当时，就有
