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1、策略(二)总结数学思想在解题中的应用考场解题高人一招高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉、灵活地将其运用于所需
2、要解决的问题之中一、函数与方程思想求解数学问题最实用的工具运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题典例已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，(列出方程)解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，(构造函数)则f(x)2，当x1时，f(x)
3、0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bnk恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)2x(x1)，利用函数求解 应用体验1(2016郑州质检)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_解析：由题意得，y，2xy2x3，当且仅当xy1时，等号成立答案：32(2016江西两市联考)已知定义在R上的函数g(x)的导
4、函数为g(x)，满足g(x)g(x)0，若函数g(x)的图象关于直线x2对称，且g(4)1，则不等式1的解集为_解析：函数g(x)的图象关于直线x2对称，g(0)g(4)1，设f(x)，f(x)，又g(x)g(x)0，f(x)0，f(x)在R上单调递减，又f(0)1，f(x)f(0)，x0.答案：(，0)3已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，求x的取值范围解：t，8，f(t).原题转化为m(x2)(x2)20恒成立，当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.问题转化为g(m)在m上恒大于0，则即解得x2或x1.
5、x的取值范围是(，1)(2，).运用函数与方程思想解决几何问题典例(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3
6、)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，(转化为函数)从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h2时，V0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故当h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大(1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，h的方程，再由公式把体积V表示成关于高h的函数，最后利用导数
7、求解(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中也会经常用到，如求范围最值问题 应用体验1若点O和点F(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A.B.C. D.解析：选B由c2得a214，a23.双曲线方程为y21.设P(x，y)(x)，(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，则g(x)在上单调递增g(x)ming()32.的取值范围为.2设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点若，则k的值为_解析：依题意
8、得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.由知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2；由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.答案：或 （1）函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）0，就是求函数yf（x）的零点，再如方程f（x）g（x）的解的问题可以转化为函数yf（x）与yg（x）的交点问题，也可以
9、转化为函数yf（x）g（x）与x轴的交点问题，方程f（x）a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域.（2）当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.（3）借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.二、数形结合思想求解数学问题最快捷的途径利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题典例已知x1，x2是函数f(x)e2x|ln x|的两个零点，则()A1x1x2B.x1x21C2x1x22 D.x1x22解析
10、在同一坐标系下画出函数ye2x与y|ln x|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0，1)，另一个交点横坐标属于区间(1，)，不妨设x1(0，1)，x2(1，)，则有e2x1|ln x1|ln x1，e2x2|ln x2|ln x2，e2x2e2x1ln x2ln x1ln(x1x2)，于是有ex1x2e0，即x1x21，选B.答案B用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，
11、然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数 应用体验1(2016湖北七市联考)函数f(x)3xx24的零点个数是_解析：令f(x)0，则x24，分别作出函数g(x)x24，h(x)的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.答案：22已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：在坐标系内作出函数f(x)的图象，如图：可知当0m0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)解析设yg(x)(x0
12、)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)，故选A.答案A(2)(2016广州五校联考)已知函数f(x)若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，f(3a2)f(2a)，3a22a，解得3a1.答案(3，1) (1)本例(1)利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(1)0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 应用体验1设A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使AB成立的实数m的取值范围是_解析：集合A是一个圆x2(y1)21上的点的集合，集合B是一个不等式xym0表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含(如图
